Ejercicios de sucesiones y límites (2)

 Ejercicio 1

Tenemos que escribir los primeros términos de una sucesión que tenga 4 puntos de acumulación. ¿Tendrá límite esta sucesión?

Solución

Podemos encontrar infinitas sucesiones con 4 puntos de acumulación, una de las cuales será:

0,1,2,3, 0,1,2,3,0,1,2,3 ...

Los puntos de acumulación en este caso serán: 0, 1, 2, 3.

Esta sucesión no tiene límite, ya que toda sucesión con más de un punto de acumulación no tiene límite, pues este debe ser único.

Ejercicio 2

Calcular cuántos puntos de acumulación tiene la sucesión:

aₙ = (-1)ⁿ·(1 + 1/n)ⁿ

Solución

Distinguimos entre los términos pares e impares. Cuando n es un número par se verifica que aₙ = (1 + 1/n)ⁿ. Si calculamos el límite cuando n tiende a infinito, vemos que es el número e.

Si n es un número impar, tenemos que aₙ = -(1 + 1/n)ⁿ. Si calculamos el límite cuando n tiene a infinito, obtenemos -e.

Por tanto, la sucesión aₙ tiene dos puntos de acumulación, que son e y -e. Luego esta sucesión no tendrá límite.

Ejercicio 3

Encontrar dos sucesiones distintas cuyo límite sea 1/2.

Solución

Existen infinitas sucesiones de este tipo entre las cuales se encuentran las sucesiones:
  1. aₙ = (3n²+2)/(6n²-n+1) (grado del numerador igual al grado del denominador, por lo que el límite es igual al cociente de los coeficientes de mayor grado).
  2. bₙ = 1/2,1/2,1/2... (sucesión con todos los términos iguales)

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