Ejercicios sobre sucesiones y límites (1)

 Ejercicio 1

Escribir los seis primeros términos de la sucesión dada por:

a2n = (aₙ-1)/2 - 2aₙ y a2n-1 = an-1 +4 para n = 2, 3, 4..., siendo a₁ = 1, a₂ = 2.

Solución

Una vez conocidos los dos primeros términos vamos a calcular los demás  a partir de estos:

para n = 2, obtenemos los términos n=3 y n=4:
  • a₃ = a₁ + 4 = 5
  • a₄ = a₁/2 - 2·a₂ = 1/2 -4 = -7/2
Para n = 3, obtenemos los términos a₅ y a₆:
  • a₅ = a₂ + 4 = 6
  • a₆ = a₂/2 - 2a₄ = 1 - 10 = -9
Nos quedará:

1, 2, 5, -7/2, 6, -9 ...

Ejercicio 2

Tenemos que calcular el término general de la sucesión cuyos primeros términos son:

0, 3/10, 8/29, 15/66, 24/127,...

Solución

Observando los términos de la sucesión a partir del segundo se verifica que:

a₂=(4-1)/(8+2), a₃=(9-1)/(27+2), a₄=(16-1)/(64+2), a₅=(25-1)/(125+2)

Entonces se verifica que el término general de la sucesión será:

aₙ=(n²-1)/(n³+2) para n = 2, 3...

Vamos a comprobar que el primer término de la sucesión efectivamente es 0:

a₁ = (1-1)/(1+2) = 0/3

Ejercicio 3

Hallar el término general de la sucesión -1, 2/5, 2, 4/17, -3, 6/37..., y comprobar si esta sucesión tiene límite.

Solución

Si observamos estos primeros términos vemos que los impares tienen una relación distinta a los términos pares, por tanto, para calcular el término general de la sucesión, distinguiremos entre los términos pares e impares.

Primero, estudiaremos los términos impares:

a₁ = -1, a₃ = +2, a₃ = -3, ...

Se verifica que:

a2n-1 = (-1)ⁿ·n, donde n = 1, 2, 3...

Para los términos pares:

a₂ = 2/5, a₄ = 4/17, a₆ = 6/37...

Entonces se verifica que:

a2n = 2n/((2n)²+1) = 2n/(4n²+1) para n = 1, 2, 3...

Entonces la sucesión vendrá dada por:

a2n = 2n/(4n²+1) y a2n-1 = (-1)ⁿ·n para n = 1, 2, 3...

Esta sucesión no tiene límite ya que los términos impares no están acotados. En cambio, esta sucesión si posee un punto de acumulación es el cero, ya que la subsucesión formada por los términos pares tiene como límite el 0.

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