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 Sea el plano 𝜋 y una circunferencia de centro O y radio r que se encuentra en el plano. Llamamos inversión positiva de centro O, o inversión circular respecto de O, la correspondencia que hace pasar a todo punto P de 𝜋 pertenecientes a la semirrecta OP, de modo que: OP· OP' = r² el centro O es el centro o polo. El radio r es el radio del círculo o circunferencia fundamental, el radio al cuadrado es la potencia de la inversión circular. Los puntos P y P' se llaman inversos y homólogos y los que pertenecen a la circunferencia fundamental son invariantes. Por ello, la circunferencia fundamental también recibe el nombre de circunferencia de autoinversión . Cada punto del plano 𝜋 sólo admite un homólogo para r²≠0 y siendo el punto distinto del centro. Al centro le corresponderían todos los puntos del infinito de 𝜋 y ello contradice la biunicividad. Para subsanarlo, se le asigna un solo punto impropio homólogo O'. En la inversión circul

 La ecuación de una transformación es: x' = Ax + By + C y' = Px + Qy + R para que sea una traslación ha de verificarse: A = 1, B = 0, P = 0, Q = 1, C y R cualesquiera Para que sea simetría , ha de verificar: A = Q, B = -P, A²+B² = 1, siendo A ≠ 1 Para que sea semejanza , se verificará: A² + B² = P² + C² = H² Siendo H razón de semejanza y además: AB + PQ = 0

 Dos poliedros semejantes tendrán sus caras homólogas semejantes, sus aristas homólogas semejantes, sus ángulos y diedros homólogos iguales. Para reconocer la semejanza de los poliedros no es preciso comprobar tantas condiciones; basta que se cumplan algunas de ellas para que se cumplan las demás . Vamos a estudiar condiciones suficientes de semejanza en los poliedros más sencillos: los tetraedros. Procederemos como en el plano para la semejanza de triángulos. Sean ABCD y A'B'C'D' los tetraedros dados, llevemos sobre la arista AB (suponemos que es mayor a A'B') el segmento AB'' = A'B' y tracemos por B'' el plano B''C''D'' paralelo a la cara BCD. El tetraedro AB''C''D'' es homotético y, por tanto, semejante del ABCD. Todo criterio que permita afirmar la igualdad (congruencia o pseudo-congruencia) de los tetraedros AB''C''D'' y A&

 Dos figuras del espacio entre cuyos puntos se pueda establecer una correspondencia biunívoca que cumpla las condiciones que se indican a continuación se llamarán semejantes y la transformación que las une, semejanza. Se llama directa si se conserva el sentido del espacio o inversa en caso contrario. El producto de una homotecia por un movimiento o pseudo-movimiento será una transformación que tendrá las propiedades resultantes de una y otra, o sea: A puntos alineados, corresponden puntos alineados en igual orden. A puntos coplanarios, corresponden puntos coplanarios. Los segmentos homólogos son proporcionales. La razón de proporcionalidad se llama razón de semejanza. Los ángulos homólogos son iguales. Los diedros homólogos son iguales. En cuanto al sentido del espacio, se conserva si los conservan o los invierten los dos factores, (es decir, si se multiplica una homotecia de razón positiva por un movimiento, o una homotecia de razón negativa por pseudo-movimiento) y se invierte en los

 Se llama semejanza a toda correspondencia biunívoca entre los puntos de un plano, de modo que si P y Q son dos puntos cualesquiera y P' y Q' sus transformados mediante la semejanza: P'Q' + PQ = K Siendo K la razón de semejanza. Mediante la semejanzas se transforman puntos alineados en alineados y no alineados en no alineados. Si los puntos P, Q, R no están alineados y los transformados P', Q', R' si lo estuvieran, uno de ellos estaría comprendido entre los dos, y por estar alineados, y como: P'R' = K PR P'Q' = K PQ Q'R' = K QR luego  Q'R' = K QR y esto contradice la relación PR < PQ + QR , que es la que es característica para los lados de un triángulo. Análogamente, podemos probar que si P, Q y R son colineales, P', Q' y R' lo son también. En consecuencia: Si Q pertenece al segmento comprendido entre P y R, Q' pertenecerá al segmento P'R'. Las semejanzas transforman triángulos en otros semejantes

 Del mismo centro El producto de dos homotecias del mismo centro y razones K₁, K₂ es otra homotecia de razón K₁K₂. Como la identidad es una homotecia de razón K = 1, resulta que todas las homotecias con un mismo centro forman un grupo. De distinto centro Demostraremos además por un procedimiento distinto empleado en el plano. El producto de dos homotecias de centros distintos O₁O₂ y de razones no recíprocas K₁ y K₂ es una homotecia de razón K₁K₂ cuyo centro O está alineado con O₁ y O₂. En efecto, sea ABC un triángulo, un triángulo A'B'C' su homólogo, es la homotecia O₁K₁O₂K₂·ABC , y A''B''C'' y A''B''C'' el homólogo de éste en la homotecia, tienen sus lados homólogos paralelos entre sí por serlo a los del triángulo A'B'C', luego son homotéticos. Sea O₃ el centro de homotecia. Lo mismo podemos repetir para otro triángulo ABC determinado por AB y otros cualesquiera D de la primera figura y sus homólogos sucesivos D&#

 Sea la homotecia de centro S(p, q, r) y razón K. Sea O(0, 0, 0) el origen de coordenadas tendremos según vimos en la figura y análogamente en el plano x' - p = K(x-p) y'-q = K(y-q) z'-r = K(z-r) o sea: x' = (1-K)p + Kx y' = (1-K)q + Ky z' = (1-K)r + Kz y en forma matricial (1x'y'z') = (1xyz)H siendo H igual a:

 Dado un punto fijo S y un número real K≠ 0 positivo o negativo, hagamos corresponder a todo punto A, distinto de S, otro A' alineado con S tal que SA'/SA = K. Este punto está en la semirrecta SA si K>0 y en la opuesta si K<0 y la correspondencia así definida se llama homotecia de centro O y razón K.  Si K = 1, la homotecia se reduce a identidad. Propiedades De esta definición se desprende (suponiendo K ≠ 1). El centro S es el único punto doble (homólogo de sí mismo). Las rectas que pasan por el centro son dobles. Los planos que pasan por el centro son dobles y los puntos homólogos de estos planos lo son en una homotecia de dicho plano de centro S y razón K de donde: A los puntos de una recta que no pasa por el centro corresponden los de otra paralela. Luego las rectas que pasan por el centro son las únicas del doble. La homotecia conserva la ordenación de los puntos de una recta. Las siguientes recta

 Esta entrada es continuación de la anterior . Si tenemos K₁K₂ = 1, el centro de la homotecia es impropio y las ecuaciones de transformación serán: x' = (1-K₂)p₂ + K₂(1-1/K₂)p₁ + x'' = (1-K₂)(p₂-p₁)+x'' y' = (1-K₂)q₂ + K₂(1-1/K₂)q₁ + y'' = (1-K₂)(q₂-q₁)+y'' que es una traslación del vector AA' ' paralelo  a la recta que une los centros de las dos homotecias: a = AA' ' = [(1-K₂) (p₂-p₁),  (1-K₂)(q₂-q₁)] Ejemplo Dada la homotecia de razón K = -2, pasamos del punto p(8, 3) al P'(-7, 0). Tenemos que calcular las ecuaciones y el punto homólogo de Q(3, -5). Solución Sabemos que siendo K = -2: x'-p = -2(x-p) y'-q = -2(y-q) como P'(-7, 0) es homólogo de P(8, 3): -7-p = -2(8-p) 0-q = -2(3-q) resolviendo el sistema, tenemos: p =3, q = 2 las ecuaciones quedarán: x' = 3-2(x-3) => x' = 9-2x y' = 2-2(y-2)=> y' = 6-2y para el punto Q(3, -5): x' = 9-2·3 = 3 y' = 6-2(-

 Del mismo centro El producto de dos homotecias del mismo centro S y de razones respectivas K y K'' es otra homotecia del mismo centro y de razón KK', ya que: SP'/SP = K SP''/SP' = K' Luego: SP''/SP = K·K' De distinto centro Dadas las homotecias H₁ y H₂ de ecuación: (1x'y') = (1xy)H₁ (1xy) = (1x''y'')H₂ de centros S₁(p₁, q₁), S₂(p₂, q₂), y razones K₁ y K₂ respectivamente. Siendo H₁ y H₂ iguales a: El producto de la primera por la segunda da la transformación: (1x'y') = (1x''y'')H₃ siendo H₃ = H₁·H₂, es decir: Si K₂K₁≠1 ⟺ (1x'y')=(1x''y'')H₃ es otra homotecia de centro S₃ y tiene por coordenadas: p₃ = [(1-K₂)p₂ + K₂(1-K₁)p₁]/(1-K₂K₁) (1) q₃ = [(1-K₂)q₂ + K₂(1-K₁)q₁]/(1-K₂K₁) (2) pues x' = (1-K₂)p₂ + K₂(1-K₁)p₁ + K₂K₁x'' = (1-K₂K₁)p₃ + K₂K₁x'' entonces: (1-K₂K₁)p₃ = (1-K₂)p₂ + K₂(1-K₁)

 Se define una homotecia de centro S y razón K (K es un número positivo o negativo) a la transformación que haciendo corresponder al punto P el P' verifica que: P' pertenece a la recta SP . SP' = K· SP , P' estará situado en la semirrecta SP si K es positivo y en la opuesta si K es negativo. Ecuaciones Sean los puntos P y P' en un sistema de coordenadas de origen O. Sean las coordenadas S(p, q), tendremos entonces: OP' = OS + SP ' SP' = K· SP Por lo que: OP' = OP + K· SP es decir: x' = p + K(x-p) y' = q + K(y-q) o también: x' = (1-K)p + Kx y' = (1-K)q + Ky y en forma matricial: (1x'y') = (1xy)H con H igual: donde: (1xy) = (1x'y')H -1 con H -1 igual a: Sea la homotecia en el plano: H(S, K) y los pares de puntos P, P' y Q, Q': SQ = SP + PQ SQ' = SP' + P'Q' como SP' = K·

 Se define como movimiento al producto de un número finito cualquiera de traslaciones, giros y simetrías. Teorema fundamental Todo movimiento es igual a un giro único, a una traslación única o al producto de uno de ellos por una simetría. Para el producto de dos giros G 𝛼₁ y G 𝛼₂ , de centros O₁ y O₂, siendo ℓ₂ la recta de O₁O₂, tenemos que G 𝛼₂ ·G 𝛼₁ = S ℓ₃ S ℓ₁ (G 𝛼₁ = S ℓ₂ S ℓ₁ , G 𝛼₂ = S ℓ₃ S ℓ₂ , y S ℓ₂ S ℓ₂ = 1). Si 𝛼₁+𝛼₂≠0, entonces ℓ₁ = O₁O, y ℓ₃ = O₂O, entonces se cortan en O. Si 𝛼₁ y 𝛼₂ tienen el mismo sentido, entonces 𝛼 = ℓ₁ℓ₃ = 𝛼₁+𝛼₂ y tienen sentido común a 𝛼₁ y 𝛼₂. Si 𝛼₁ y 𝛼₂ tienen distinto signo, entonces 𝛼 = ℓ₁ℓ₃, con |𝛼| = 𝛼₂ - 𝛼₁ y sentido del mayor. Si 𝛼₁ + 𝛼₂ es igual a 0, entonces ℓ₁ y ℓ₃ son paralelas, por lo que G𝛼₂·G𝛼₁ = 𝜏 a , donde a es perpendicular a ℓ₁, módulo el doble de la distancia ℓ₁ℓ₃ y sentido de ℓ₁ a ℓ₃. Toda traslación 𝜏 a p

 Producto de dos giros Cuando sus ejes se cortan en un punto. Dados dos giros, G(𝛼, ℓ) y G₁(𝛂₁, ℓ₁), cuyos ejes se cortan en un punto 0, queremos obtener la transformada de la recta r que es perpendicular al plano que contiene a ℓ y a ℓ₁. Si consideramos los giros G'(-𝛼/2, ℓ) y G''(𝛂₁/2, ℓ₁), éstos transformarán la recta r en r₁ y r₂ respectivamente. El producto de los giros se transforma en en el producto de las simetrías S₁ y S₂. S₁→producto de las simetrías que tienen por eje a r₁ y a r. S₂→producto de las simetrías que tienen por eje r₂ y r. El producto de dos giros cuyos ejes se cortan equivale al producto de dos simetrías cuyos ejes también se cortan, entonces equivale a un  giro de amplitud doble a la del ángulo que forman los ejes r₁ y r₂ y de eje perpendicular al plano que determinan éstos en el punto de intersección. Cuando los ejes se cruzan Esta transformación es el producto de dos simetrías cuyos eje

 Un giro en el espacio es un movimiento en el que se corresponden dos semirrectas Or y Or' de origen común O, y dos semiplanos en el plano 𝜋 que ambas determinan, limitadas por sus rectas respectivas, situados a un mismo lado de ellas. Propiedades En este movimiento, son dobles en el plano el punto O, y por consiguiente, la perpendicular ℓ por O a 𝜋. También es doble todo otro punto P de ℓ por el axioma de rigidez y la conservación del sentido. La recta ℓ, que tiene dobles todos sus puntos, se llama eje de giro. Todos los planos perpendiculares al eje son dobles. Dos puntos homólogos A y A' están en una circunferencia situada en un plano perpendicular al eje y de centro en él. Dos puntos homólogos equidistan del eje. Este se halla, pues, en el plano de simetría de A y A'. Por ser dobles todos los puntos del eje, resulta que todos los puntos del eje equidistan de cada par de planos homólogos; de donde el eje de giro está en el plano bisector del diedro definido por dos sem

 Dados los ejes coordenados y O el centro de un giro G, y el punto A' análogo de A en G 𝛼 , observamos que las coordenadas de A' respecto de unos ejes paralelos a los dados y trazados en O₁ son iguales a las de A respecto a otros ejes de origen en O, pero girados un ángulo 𝛼. Sea  O₁(p, q), A(x, y), A'(x', y') x' = x· cos 𝛼 - y·sen 𝛼 y' = x·sen 𝛼 + y·cos 𝛼 que son las ecuaciones del giro. Matricialmente tenemos: x'-p = (x-p)·cos 𝛼 - (y-q)·sen 𝛼 y'-q = (x-p)·sen 𝛼 + (y-q)·cos 𝛼 Si O₁ coincide con O: x'y' = (xy)Q siendo Q igual a: y si O₁ coincide con O, la matriz que define el giro es:

 Se define giro o rotación de centro O y amplitud 𝛼 (𝛼 es un ángulo orientado) como la transformación que hace corresponder a cada punto P del plano el P', de modo que OP = OP', POP' = 𝛼. Si consideramos un punto O, un punto determinado A y un punto arbitrario B, el punto O es invariante en el giro, y A', B' son las transformadas de A y B respectivamente: A' = G(A) B' = G(B) entonces AOA' = BOB' ⟹AOB = A'OB' Los triángulos AOB y A'OB' son iguales. Todo giro es una congruencia y recíprocamente, toda congruencia plana en la que un punto coincide con su transformado es un giro con centro en dicho punto. Propiedades La transformada de una recta es una recta. La transformada de una semirrecta es una semirrecta del mismo sentido. La transformada de una circunferencia es una circunferencia de igual radio, cuyo centro es el transformado del centro de la primera. Co

 Producto de simetrías respecto de dos planos El producto de una simetría especular respecto de un plano xy por la simetría central respecto de un punto O de este plano es la simetría axial respecto del eje ℓ perpendicular al plano por el O. El producto de una simetría especular respecto de un plano xy por la simetría axial respecto de un eje x de este plano es la simetría especular respecto del plano normal por x al xy. El producto de una simetría especular respecto al plano xy por la simetría axial respecto de un eje z perpendicular es la simetría central respecto del punto O de intersección del eje z con el plano xy. NOTA: La simetría central y la especular cumplen todos los axiomas para ser movimiento excepto la conservación del sentido , por lo que a estas dos transformaciones se las denomina como pseudomovimientos y a las figuras correspondientes pseudocongruentes . Producto de dos simetrías centrales o especulares o central y especular El producto de dos simetrías centrales o

 Producto de simetrías centrales El producto de dos simetrías centrales respecto de centro O y O' distintos es una traslación. Pues si llamamos O'' al simétrico de O respecto de O', el producto indicado es un movimiento en el que a la semirrecta OO' le corresponderá la semirrecta prolongación de O'O'' y a todo semiplano limitado por la recta OO' le corresponde el mismo semiplano trasladado. Recíprocamente, toda traslación AA' puede obtenerse como el producto de dos simetrías centrales. Basta para ello dividir el segmento AA' en dos parciales, AB y BA' y  multiplicar las simetrías respecto de los puntos medidos de ambos segmentos. Producto de simetrías axiales Ejes paralelos Con ejes paralelos, tenemos los planos 𝜋₁, que contiene a r₁ y es perpendicular a 𝜋₂; el plano 𝜋₂ que contiene a r₁ y r₂; el plano 𝜋₃ que contiene a r₂ y es perpendicular a 𝜋₂. El vector u

 Se llama simetría respecto del plano o simetría especular a una aplicación del espacio afín en sí mismo, de modo que a cada punto P se le asocia un punto P' tal que los puntos que equidistan del segmento PP' es el plano 𝜋. Este plano es perpendicular a la recta que une P y P' en el punto medio del segmento PP' La simetría especular es una transformación involutiva. Todos los puntos rectos y figuras de 𝜋 son dobles. Todas las rectas y los planos perpendiculares a 𝜋 son dobles. Si una figura F está contenida en un plano perpendicular a 𝜋, su simetría F' está en el mismo plano y F' es una figura simétrica de F en la simetría plana en P respecto de la recta de intersección de P con 𝜋. Propiedades La simetría especular conserva la perpendicularidad, igualdad de triángulos y la igualdad de diedros.

 Dada una semirrecta r de origen O y un semiplano 𝛼 cuyo borde es la que contiene r, llamaremos simetrías axial al movimiento del espacio que transforma r en sí misma y el semiplano 𝛼 en su opuesto 𝛼'. La recta r se llama eje de simetría y las figuras transformadas por este movimiento se llamarán simétricas respecto de dicho eje. Aplicando dos veces la simetría axial, el movimiento resultante es la identidad, movimiento único que transforma r y 𝛼 en sí mismos. Propiedades La simetría axial es una transformada involutiva. Las figuras simétricas se corresponden doblemente. Si F tiene por simétrica F', F' tiene por simétrica F. Todo punto P del eje es doble, es decir, homólogo de sí mismo. Todo semiplano  𝛽 de borde r se transforma en su opuesto. En consecuencia, todo plano que pasa por el eje es doble. Todo triedro cuya arista está en el eje se transforma en su opuesto. El eje de simetría es mediatriz de los segmentos que unen puntos homólogos. Toda recta secante y norma

 Simetría central La transformación puntual que se obtiene haciendo corresponder a cada punto A su simétrico A' respecto de un punto O y a éste, él mismo, la llamaremos simetría central de centro O. Propiedades La simetría central es una transformación inductiva. Se observa, desde luego, que esta transformación no puede ser un movimiento, por cuanto transforma un triedro en su opuesto por el vértice invirtiendo su sentido, pero tiene propiedades muy parecidas a las del movimiento. Si varios puntos están alineados y ordenados en la recta a, sus homólogos también lo están. De donde, si dos rectas se cortan, sus homólogas también. La simetría central conserva las relaciones de incidencia y orden. Los segmentos simétricos son iguales, por serlo una simetría plana de centro O. En consecuencia: Los triángulos simétricos son iguales, por tener los lados iguales. Los ángulos simétricos son iguales.