Grupo de los movimientos en el plano

 Se define como movimiento al producto de un número finito cualquiera de traslaciones, giros y simetrías.

Teorema fundamental

  1. Todo movimiento es igual a un giro único, a una traslación única o al producto de uno de ellos por una simetría.
  2. Para el producto de dos giros G𝛼₁ y G𝛼₂, de centros O₁ y O₂, siendo ℓ₂ la recta de O₁O₂, tenemos que G𝛼₂·G𝛼₁ = Sℓ₃Sℓ₁ (G𝛼₁ = Sℓ₂Sℓ₁, G𝛼₂ = Sℓ₃Sℓ₂, y Sℓ₂Sℓ₂ = 1).
  3. Si 𝛼₁+𝛼₂≠0, entonces ℓ₁ = O₁O, y ℓ₃ = O₂O, entonces se cortan en O.
  4. Si 𝛼₁ y 𝛼₂ tienen el mismo sentido, entonces 𝛼 = ℓ₁ℓ₃ = 𝛼₁+𝛼₂ y tienen sentido común a 𝛼₁ y 𝛼₂.
  5. Si 𝛼₁ y 𝛼₂ tienen distinto signo, entonces 𝛼 = ℓ₁ℓ₃, con |𝛼| = 𝛼₂ - 𝛼₁ y sentido del mayor.
  6. Si 𝛼₁ + 𝛼₂ es igual a 0, entonces ℓ₁ y ℓ₃ son paralelas, por lo que G𝛼₂·G𝛼₁ = 𝜏a, donde a es perpendicular a ℓ₁, módulo el doble de la distancia ℓ₁ℓ₃ y sentido de ℓ₁ a ℓ₃. Toda traslación 𝜏a podemos descomponerla como dos simetrías de ejes perpendiculares a a y cuya distancia sea de igual magnitud, dirección y sentido a (1/2)a, de este modo podemos fijar un eje arbitrariamente.

Combinando todo lo anterior, y considerando además que:

  1. El producto de dos traslaciones es otra traslación.
  2. El producto de dos simetrías es una traslación o un giro; vamos reduciendo el número de transformaciones que aparecen en el movimiento considerado y alcanzamos la reducción que se enunciaba en el teorema.

En consecuencia:

  1. El conjunto de todos los movimientos en el plano es el grupo de los movimientos.
  2. Se llama subgrupo de movimientos directos al conjunto de éstos que se reducen a un giro o a una traslación.
  3. El grupo de las traslaciones es un subgrupo del subgrupo de los movimientos directos.

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