Producto de simetrías en el espacio (2)

 Producto de simetrías respecto de dos planos

  1. El producto de una simetría especular respecto de un plano xy por la simetría central respecto de un punto O de este plano es la simetría axial respecto del eje ℓ perpendicular al plano por el O.
  2. El producto de una simetría especular respecto de un plano xy por la simetría axial respecto de un eje x de este plano es la simetría especular respecto del plano normal por x al xy.
  3. El producto de una simetría especular respecto al plano xy por la simetría axial respecto de un eje z perpendicular es la simetría central respecto del punto O de intersección del eje z con el plano xy.

NOTA: La simetría central y la especular cumplen todos los axiomas para ser movimiento excepto la conservación del sentido, por lo que a estas dos transformaciones se las denomina como pseudomovimientos y a las figuras correspondientes pseudocongruentes.

Producto de dos simetrías centrales o especulares o central y especular

El producto de dos simetrías centrales o especulares o una central y otra especular es un movimiento, por lo que transformando una figura mediante una simetría central y otra especular las figuras resultantes son iguales.

Producto de dos simetrías especulares respecto de dos planos paralelos

Es una traslación cuyo vector es perpendicular a los planos, con sentido desde el primer plano al segundo y de módulo el doble de la distancia entre ambos planos.

Toda traslación puede detenerse en infinidad de maneras como producto de simetrías especulares.

El producto de dos simetrías respecto de dos planos que se cortan en una recta r

El producto de dos simetrías respecto de dos planos que se cortan en una recta r es un giro de amplitud doble a la del ángulo que forman el primer y segundo plano y tomando como eje de giro la recta r.

Los puntos P' y P'' podemos obtenerlos mediante giros.

  • De P a P' mediante un giro de eje r y ángulo POP'.
  • De P' a P'' mediante un giro de eje r y ángulo P'OP''.

Los puntos P, P' y P'' están contenidos en el plano 𝜋₁, que corta perpendicularmente al eje r en 0 y además:

d(OP) = d(OP') = d(OP'')

La composición de estos giros es otro del mismo eje y de amplitud la suma de las amplitudes.

En el caso en que los planos sean perpendiculares, la amplitud del giro será 𝜋, o sea, será también una simetría axial respecto de la intersección de los dos planos.


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