Simetría central en el espacio

 Simetría central

La transformación puntual que se obtiene haciendo corresponder a cada punto A su simétrico A' respecto de un punto O y a éste, él mismo, la llamaremos simetría central de centro O.

Propiedades

  1. La simetría central es una transformación inductiva. Se observa, desde luego, que esta transformación no puede ser un movimiento, por cuanto transforma un triedro en su opuesto por el vértice invirtiendo su sentido, pero tiene propiedades muy parecidas a las del movimiento.
  2. Si varios puntos están alineados y ordenados en la recta a, sus homólogos también lo están. De donde, si dos rectas se cortan, sus homólogas también.
  3. La simetría central conserva las relaciones de incidencia y orden.
  4. Los segmentos simétricos son iguales, por serlo una simetría plana de centro O.
Ejemplo de simetría central


En consecuencia:

  1. Los triángulos simétricos son iguales, por tener los lados iguales.
  2. Los ángulos simétricos son iguales. Al ser iguales los ángulos, se conserva la simetría de perpendicularidad.
  3. Si dos rectas o una recta y un plano son perpendiculares, sus simetrías también lo son.

Por tanto:

  1. Los diedros simétricos son iguales por serlo sus secciones rectas.

Además de estas propiedades, la simetría central tiene las siguientes:

  1. Las rectas y los planos que pasan por el centro son dobles, es decir, simétricos de sí mismos. Son las únicas rectas dobles, ya que se verifica además:
    1. Toda recta a que no pase por el centro tiene por simétrica otra (por ejemplo, puedes considerar la simetría central en Oa), y análogamente:
    2. Todo plano 𝛼 que no pase por el centro tiene por simétrico tiene otro 𝛼', que no tiene punto alguno común.
    3. Dos planos sin ningún punto común se llaman paralelos, y podemos decir que los planos simétricos no dobles son paralelos.

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