Producto de simetrías en el espacio (1)

 Producto de simetrías centrales

El producto de dos simetrías centrales respecto de centro O y O' distintos es una traslación.

Ejemplo de producto de simetrías centrales


Pues si llamamos O'' al simétrico de O respecto de O', el producto indicado es un movimiento en el que a la semirrecta OO' le corresponderá la semirrecta prolongación de O'O'' y a todo semiplano limitado por la recta OO' le corresponde el mismo semiplano trasladado.

Recíprocamente, toda traslación AA' puede obtenerse como el producto de dos simetrías centrales. Basta para ello dividir el segmento AA' en dos parciales, AB y BA' y  multiplicar las simetrías respecto de los puntos medidos de ambos segmentos.

Producto de simetrías axiales

Ejes paralelos

Ejemplo de planos con ejes paralelos


Con ejes paralelos, tenemos los planos 𝜋₁, que contiene a r₁ y es perpendicular a 𝜋₂; el plano 𝜋₂ que contiene a r₁ y r₂; el plano 𝜋₃ que contiene a r₂ y es perpendicular a 𝜋₂.

El vector u da la traslación que hace pasar de r₁ a r₂. Entonces, si S₁ y S₂ son simetrías axiales de ejes r₁ y r₂:

  • S₁ = S𝜋₂·S𝜋₁
  • S₂ = S𝜋₃·S𝜋₂

y por lo tanto:

S₂·S₁ = (S𝜋₃·S𝜋₂)·(S𝜋₂·S𝜋₁) = S𝜋₃(S²𝜋₂)S𝜋₁ = S𝜋₃S𝜋₁ = 𝜏2u

Se trataría de traslación de amplitud u.

Los ejes se cortan

Sean los ejes r₁ y r₂ que se cortan en el punto O, el plano 𝜋 que definen r₁ y r₂, r la normal a este plano y 𝜃 el ángulo de rotación que hace la transformación de r₁ en r₂.

Trazamos además los planos 𝜋₁ y 𝜋₂ que contienen respectivamente a r₁ y r y a r y r₂.

Ejemplo de ejes que se cortan


Si consideramos las simetrías que vienen definidas por los ejes r₁ y r₂ (que son concurrentes):

  • S₁ = S𝜋₁·S𝜋
  • S₂ = S𝜋·S𝜋₂

y del producto de ambas:

S₂·S₁ = (S𝜋·S𝜋₂)·(S𝜋₁·S𝜋) = S𝜋₂·S²𝜋·S𝜋₁ = S𝜋₂·S𝜋₁ = G(r₁, 2𝜃)

Se deduce entonces que el producto de dos simetrías respecto de las rectas concurrentes r₁ y r₂ que forman el ángulo 𝜃 es el giro de eje  r y (perpendicular común a ambas) y de amplitud 2𝜃.

Si los ejes se cortan perpendicularmente, el producto será una simetría axial respecto de la recta perpendicular a ambas en su punto de intersección.

Los ejes de simetría se cruzan

Ejemplo de ejes que se cruzan


Dados los ejes r₁ y r₂ que se cruzan y siendo r la perpendicular común que los corta en O₁ y O₂ respectivamente; donde r₂' es la paralela a r₂ por O, 𝜃 el ángulo que forma ésta con r₁ y por tanto, la amplitud de un giro que transforma r₂' en r₁ y u el vector de la traslación que hace corresponder a r₂' con r₂.

Tendremos por tanto que:

S₂·S₁ = S₂·(S²2')·S₁ = (S₂·S2')·(S2'·S₁) = 𝜏2u

El producto de dos simetrías axiales de ejes r y r' puede expresarse como el producto de un giro de eje r perpendicular a r₁ y r₂ y amplitud 2𝜃 por una traslación de vector paralelo al eje de giro.

Comentarios

Publicar un comentario

Puedes dejar tus comentarios, sugerencias o dudas.

Entradas populares de este blog

Cálculo de la característica y de la mantisa

 Cálculo de la característica Todo número está comprendido entre dos potencias; la característica será el exponente de la menor de las dos potencias. Por ejemplo, sea el número 73. 73 es menor que 100, pero mayor que 10. 10¹<73<10² La característica de 10 es 1 y su mantisa es 0. La característica de 100 es 2 y su mantisa es 0. El logaritmo de 73 no podrá llegar a 2 pero tendrá que ser mayor que 1. 1<log 73 <2 log73 = 1,.... Sea ahora el número 0,0007. En este caso, el número es mayor que 0,0001 y menor que 0,001 0,0001 < 0,0007 < 0,001 10 -4 <0,0007<10 -3 Nuestro número tendrá por tanto un logaritmo comprendido entre -4 y -3: -4 < log 0,0007<-3 log 0,0007 = -4..... La mantisa de un logaritmo es siempre positiva; por ello cuando la característica es negativa se señala colocando encima de ella un signo negativo: log 0,0007
Leer más

Fórmula de aproximación de Taylor

 Polinomios de Taylor Dado el polinomio P(x) de grado n y un x = x₀ queremos ordenarlo en potencias de (x-x₀). Es decir: P(x) = a₀ + a₁(x-x₀)+a₂(x-x₀)²+...+aₙ(x-x₀)ⁿ O sea, tenemos que calcular los coeficientes a₀, a₁, a₂,..., aₙ, pero no lo haremos aplicando las divisiones sucesivas de la Regla de Ruffini, sino por derivación . Los coeficientes se determinan del siguiente modo: P(x₀) = a₀ Derivamos el polinomio sucesivamente: P'(x) = a₁ + 2a₂·(x-x₀) + 3·a₃·(x-x₀)²+...+n·aₙ·(x-x₀) n-1 P''(x) = 2a₂ + 6a₃·(x-x₀) + ...+n(n-1)·aₙ·(x-x₀) n-2 .......................................................................................................... P (n (x) = n!·aₙ Si lo particularizamos en el punto x₀ tenemos: P'(x₀) = a₁ P''(x₀) = 2!·a₂ P'''(x₀) = 3!·a₃ ..............................................................................
Leer más

Formas de representar la recta (1)

 Tenemos varias formas de representar la recta: Forma normal Si en las ecuaciones paramétricas, explicadas en la entrada anterior , eliminamos 𝜌: (x-x₁)/p = (y - y₁)/q = (z - z₁)/r que es la ecuación normal o continua de la recta. Si lo referimos a ejes rectangulares: p = cos 𝛼, q = cos ꞵ, r = cos 𝛾 y por tanto: (x - x₁)/ cos 𝛼 = (y - y₁)/cos ꞵ = (z - z₁)/cos 𝛾 siendo 𝛼, ꞵ, 𝛾 los ángulos que forma la recta con los ejes coordenados. Tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales en el cual, si conocemos la razón común, 𝜌, obtendríamos las tres ecuaciones paramétricas que dan las coordenadas x, y, z de todos los puntos que pertenecen a la recta. Forma ordinaria Podemos definir la línea recta como la intersección de los dos planos proyectantes sobre los planos xz y yz. Tendremos entonces el sistema: x = az + h y = bz + k que es la forma ordinaria de la recta y que se ve que: (x - h)/a = z, así como (y - k)/b = z Luego: (x - h)/a = (y - k)/b = (z - 0)/1 que es la forma normal de la
Leer más