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 Vamos a expresar un número complejo de forma exponencial y decimos que e yi = cosy + iseny. Esto será un automorfismo y representará al número complejo y tendrá las mismas estructuras si se cumple, teniendo en cuenta que u = cos y + i·sen y , y que v = cos y' + i·sen y': u·v = cos(y + y') + i·sen(y + y') = 𝜑(e yi + e y'i ) e x+yi = e x ·e yi = e x ·(cos y + i·sen y) e x'+y'i = e x' ·e y'i = e x ·(cos y' + i·sen y') e x+yi ·e x'+y'i = e x ·e x' [cos(y + y') + i·sen(y + y')] = e(x + x')+(y + y')i El producto de dos complejos es un complejo que tiene como módulo el producto de los módulos y como argumentos la suma de los argumentos, luego la representación es válida y un complejo z = r ⍺ = r·(cos ⍺ + i·sen ⍺). Por tanto, si tenemos: e zi = cos z + i·sen z e -zi = cos(-z) + i·sen(-z) = cos z - i·sen z  entonces: cos

 Las raíces enésimas de 1 se dividen en dos clases: Las que no son de orden inferior a n y se llaman primitivas de orden n. Son los elementos de orden n de grupo cíclico. Las demás raíces que serán primitivas de orden inferior a n. Propiedades Se obtienen todas las raíces primitivas de orden n dando a K los valores primos con n y menores que n en la fórmula : 𝟄ₖ = cos(2K𝜋/n) + i·sen(2K𝜋/n) Si ẟ es una raíz de orden h, entonces ẟ h = 1, luego: ẟ h = cos( 2Kh𝜋/n) + i·sen( 2Kh𝜋/n) = 1 Como Kh = n: Si K es primo con n eso solo se cumple cuando h = n, luego serán raíces primitivas de orden n. Si K no es primo con n, llamamos y llamamos K' y n' a los cocientes de K y n por su máximo común denominador, se obtiene δ =  cos( 2K'𝜋/n') + i·sen( 2K'𝜋/n'), siendo K' primo con n' y es δ es raíz primitiva de orden n'

 Los productos, cocientes y potencia (de exponente natural) de las raíces enésimas de la unidad son también raíces de orden n. Sean ⍺ y 𝛽 unas raíces enésimas de la unidad. 𝛼ⁿ = 1, βⁿ = 1, tenemos: (𝛼·𝛽)ⁿ = 1, luego el producto es una raíz enésima. (𝛼/𝛽)ⁿ = 1, luego el cociente es también raíz enésima. (𝛼 p )ⁿ = (𝛼ⁿ) p = 1, luego la potencia p-ésima también es raíz n-ésima. Calculada una raíz enésima de un complejo, se obtienen todas las raíces multiplicando por las n-ésimas raíces de la unidad. z 1/n = z 1/n ·1 1/n Si h es entero, entonces S h = 𝟄₀ h + 𝟄₁ h + ... + 𝟄 n-1 h =  ∑𝝐ᵢ h = n, si h es múltiplo entero de n o 0 en otro caso (sumatorio de 0 hasta n-1) Sabemos que 𝟄₀ h = 1 y que 𝟄 k = 𝟄₁ k , por tanto 𝟄₂ = 𝟄₁², 𝟄₃＝𝟄₁³... S n = 1 + 𝟄₁ h + 𝟄₁ 2h + ... + 𝟄₁ (n - 1)h   Se trata de una progresión ge

 z = 1 = 1₀ Todas las raíces tendrán módulo 1 y de argumento: 0, 2𝜋/n,..., 2(n - 1)𝜋/n 𝜖₀ = 1, 𝜖₁,...,𝜖ₖ = cos(2K𝜋/n) + i·sen(2K𝜋/n),...,𝜖 n-1 Los afijos en el plano de Gauss son los vértices de un polígono regular de n lados. Y los complejos 𝜖ₖ (K = 0,,,,, n-1) son las raíces enésimas de la unidad. El conjunto de las raíces enésimas de la unidad es un grupo multiplicativo cíclico. NOTA:   Un grupo se dice monógeno si para la ley de multiplicación se puede engendrar por las potencias de un elemento distinto del elemento neutro. Tiene a la fuerza que ser abeliano. Un grupo monógeno finito se llama cíclico. Se llama orden de un elemento al exponente p tal que a p de el elemento neutro. En un grupo cíclico el orden de un elemento es un divisor del orden del grupo. Todo subgrupo de de un grupo cíclico es cíclico. En un grupo finito todo elemento engendra un grupo cíclico. En este grupo, el element

 Raíz cuadrada de un número complejo en forma binómica Dado z = a + bi ∈ C, √z = u ∈ C, tal que u = x + yi, y por tanto u² = z. Entonces (x + yi)² = a + bi, por lo que: x² - y² = a 2xy = b Para resolverlo, se puede hacer de la siguiente manera: x² = 𝛼 -y² = 𝛽 Sustituyendo valores: 𝛼 + 𝛽 = a -4𝛼𝛽 = b² Por lo que: 𝛼 + 𝛽 = a 𝛼𝛽 = -b²/4 Por las fórmulas de Cardano-Viette de resolución de ecuaciones, 𝛼 y 𝛽 serán las raíces de la ecuación: n² -an - (b²/4) = 0 De donde: n = (a ±√(a² + b²))/2 Luego: 𝛼 =  (a +√(a² + b²))/2, 𝛽 =  (a -√(a² + b²))/2 Y por tanto, obtenemos 4 soluciones:

 Producto de números complejos El producto de dos números complejos en forma polar, es otro complejo que tiene por módulo el producto de los módulos y por argumento la suma de los argumentos. Si: c = m 𝛼 y c' = m' 𝛼' se cumplirá: c·c' = (m·m')( 𝛼+𝛼' ) Ejemplo Hallar el producto de los complejos √3 45º y √6 20º Módulo = √3·√6 = √18 = √(2·3²) = √2·√3² = 3√2 Argumento: 45º + 20º Por lo tanto, el producto será: 3√2 65º Cociente de números complejos El cociente de dos complejos en forma polar es otro complejo que en su forma polar tendrá como módulo el cociente de los módulos y por argumento la diferencia de argumentos del dividendo y divisor. Por ejemplo, si: c = m 𝛼  y c' = m' 𝛼' se cumplirá: c/c' = (m/m') (𝛼 - 𝛼') Ejemplo Hallar el complejo cociente de 2 180º y √2 30º . Módulo resultante

 Dado el complejo z = (a, b) y en forma binómica z = a + bi, este complejo en forma trigonométrica sería z = cos ɑ + isenɑ y en fórmula módulo argumental z = m 𝞪 , siendo m el módulo del vector, que es √(a² + b²) y 𝞪 el argumento, es decir, el ángulo que forma el módulo del vector con el eje OX, admitiendo como positivo el giro de sentido contrario a las agujas del reloj contado a partir del eje OX. Por tanto, tg 𝛼 = b/a, y 𝛼 = arc tg(b/a) De esta manera, podemos pasar de forma binómica a módulo argumental o trigonométrica (y viceversa) z = a + bi a = 𝜌·cos 𝛼, b = 𝜌·sen 𝛼 z = 𝜌(cos 𝛼 + i·sen 𝛼) Operaciones con números complejos en forma trigonométrica Suma de complejos en forma trigonométrica Sean los complejos: z₁ = 𝜌₁(cos 𝛼 + isen 𝛼) z₂ = 𝜌₂(cos 𝛽 + isen 𝛽) Se llama suma de estos complejos al complejo: z = z₁ + z₂ = 𝜌₁cos 𝛼 + 𝜌₂cos 𝛽 + i(𝜌₁sen 𝛼 + 𝜌₂sen 𝛽) Y su módulo es: √(

 El módulo de un número complejo es un número real positivo que mide su tamaño. El módulo se calcula y se representa: z = a + bi → |z| = √(a² + b²) (la determinación positiva) Propiedades del módulo |z| ≥ 0, por la propia definición. |z| = 0 si y solo si z = 0 |z| = | z | = |-z| ya que a² = (-a)²; b² = (-b)² |z + z'| ≤ |z| + |z'| |z·z'| = |z|·|z'| |z/z'| = |z|/|z'| Demostración de la cuarta propiedad z = a + bi; z' = a' + b'i Partimos que (ab' - ba') ≥ 0 Desarrollando el cuadrado, tenemos que a²b'² + b²a'² - 2aa'bb' ≥ 0, y por tanto, a²b'² + b²a'²  ≥ 2aa'bb'. Sumando a los dos miembros de la desigualdad a²a'² + b²b'², tenemos:  a²b'² + b²a'² + a²a'² + b²b'²   ≥ 2aa'bb' + a²a'² + b²b'² Sabemos que: (a² + b²)·(a'² + b'²) ≥ (aa' + bb')² de

 Al igual que cada número real tiene una correspondencia con un punto de una recta, cada número complejo tiene una correspondencia biunívoca con cada punto de un plano. Las coordenadas de ese punto serán lo que se llama AFIJO del número complejo. Si tomamos como ejes coordenados el de abscisas como la componente real y el de ordenadas como la componente imaginaria, los vectores unitarios en esas direcciones son el vector e y el vector i respectivamente. Entonces el complejo z = (a, b) o z = a + bi será un vector z = ae + bi de componentes a y b que son los afijos del número complejo, o lo que es lo mismo, el extremo del vector de origen en el centro de coordenadas. Así, a cada número complejo le hacemos corresponder un vector. El módulo del complejo será el módulo del vector, o sea, la longitud de la hipotenusa, y se representa por z o por r. Podríamos ver la aplicación entre el conjunto de los complejos y el de los vectores, viendo que se establece el isomorfismo y la suma de vectores

 Para hallar la potencia de un número complejo z = x + yi se utiliza la fórmula del binomio de Newton. z m = (x + yi) m Usando la fórmula del binomio de Newton: C m,0 x m + C m,1 x m-1 (yi) 1 + C m,2 x m-2 (yi)² + ... + C m,m (yi) m Ejemplos Tenemos que calcular (2 + 3i)⁴. (2 + 3i)⁴ = C 4,0 ·(2)⁴ + C 4,1 ·(2)³·(yi)¹ + C 4,2 ·(2)²·(yi)² + C 4,3 ·(2)¹·(3i)³ + C 4,4 ·(3i)⁴ Aplicando las propiedades de los números combinatorios y de l as potencias de i , tenemos: 1·16 + 4·8·3i + 6·4·9i² + 4·2·27i³ + 1·81·i⁴ lo que es igual a: 16 + 96i - 216 -216i + 81 = -119 - 120i Tenemos que calcular (i⁵ + i⁸)³ Aplicando las potencias de i, tenemos que i⁵ = i y i⁸ = 1, por lo que: (i⁵ + i⁸)³ = (i + 1)³ Resolviendo por el binomio de Newton: (1 + i)³ = C3,0·(1)³ + C3,1·(1)²·(i)¹ + C3,2·(1)¹·(i)² + C3,3·(i)³ Aplicando las propiedades de los números combinatorios y de las potencias de i, tenemos: 1 + 3i + 3·(-1) + (-i) = -2 +2i

 Para calcular la división de dos números complejos, z₁ y z₂, se multiplica dividendo y divisor por el conjugado del divisor. z₁/z₂ = (z₁· z₂ )/(z₂· z₂ ) Ejemplo Tenemos que calcular la división (3 + 2i)/(1 - i). Multiplicamos el dividendo y el divisor por el conjugado del divisor, que en este caso es (1 + i): (3 + 2i)/(1 - i) = [(3 + 2i)·(1 + i)]/[(1 - i)·(1 + i)] = [(3 - 2) + (2 + 3)i]/(1² + 1²) = = (1 + 5i)/2 = 1/2 + (5/2)i

 Dado un número complejo z = x + yi, definimos el conjugado de z, y lo representamos por z, como el número complejo que tiene la misma parte real que z, y la parte imaginaria opuesta a la parte imaginaria de z: z  = x - yi Ejemplo Calcular los conjugados de los siguientes números complejos: z₁= 3 -2i z₂ = -3i z₃ = 4 La solución es: z₁ = 3 + 2i z₂ = +3i z₃ = 4 Propiedades del conjugado de un número complejo El conjugado de la suma de dos números complejos es igual a la suma de los conjugados de los sumandos. z₁ + z₂ = z₁ + z₂ El conjugado de un producto de números complejos es el producto de los conjugados. z₁ · z₂  =  z₁  ·  z₂ El producto de un número complejo por su conjugado es igual a la suma de los cuadrados de la parte real y de la parte imaginaria.

 Suma de números complejos en forma binómica Dados dos números complejos z₁ = x₁ + y₁i; z₂ = x₂ + y₂i en forma binómica, definimos su suma de la siguiente manera: z₁ + z₂ = x₁ + x₂ + (y₁ + y₂)i Se verifica que Re( z₁ + z₂) = Re( z₁) + Re( z₂). La parte imaginaria será: Im( z₁ + z₂) = Im( z₁) + Im( z₂). Ejemplo Dados  z₁ = -1 + 3i,  z₂ = 1 + i, tenemos que calcular la suma: z₁ + z₂ = -1 + 1 + (3 + 1)i = 0 + 4i Resta de números complejos en forma binómica Dados dos números complejos z₁ = x₁ + y₁i; z₂ = x₂ + y₂i en forma binómica, definimos su diferencia de la siguiente manera: z₁ - z₂ =  z₁ + (-z₂) =  x₁ + y₁i + (-x₂ - y₂i) = (x₁ - x₂) + (y₁ - y₂)i se verifica que: Re( z₁ - z₂) = Re[ z₁ + (-z₂)] = Re( z₁) - Re(z₂). En la parte imaginaria: Im( z₁ - z₂) = Im[ z₁ +(-z₂)] = Im( z₁) - Im(z₂) Ejemplo Dados  z₁

 Una vez conocida la unidad imaginaria , vamos a ver la representación en forma binómica del número complejo (x, y). El número complejo (x, y) está escrito  en forma binómica cuando lo expresamos: x + yi Por ejemplo, vamos a escribir en forma binómica los siguientes números complejos: (3,2) (0,1) (3,2)↔ 3 + 2i (0,1) ↔ 1i Parte real y parte imaginaria de un número complejo Dado z = x + yi, un número complejo expresado en forma binómica, se llama parte real de z y se escribe Re(z) al número real "x" y parte imaginaria de z y se escribe Im(z), al número real "y". Ejemplos Tenemos que calcular la partes real e imaginaria de los siguientes complejos: z₁ = 3 + i z₂ = -2 z₃ = -3i La solución es: Re(z₁) = 3; Im(z₁) = 1 Re(z₂) = -2; Im(z₂) = 0 Re(z₃) = 0; Im(z₃) = -3

 Llamamos unidad imaginaria, y la representamos con la letra "i" a un número que multiplicado por sí mismo, nos da -1, es decir: i = √-1 Si tenemos un número real "y", llamamos número imaginario al producto y·i. Ejemplo Realiza la operación √-100 √-100 = √(100·(-1)) = √ 100·√-1 = 10i (número imaginario) Potencias de i Vamos ahora a ver el valor que toman las sucesivas potencias de "i": i⁰ = 1; ya que cualquier potencia elevada a 0 es la unidad. i¹ = √-1 = i i² = (√-1)² = -1 i³ = i²·i = -i i⁴ = i²·i² = 1 A partir de la cuarta potencia, los valores de i se van repitiendo periódicamente, de tal forma que los valores que pueden tomar las potencias son: i, -1, -i, 1 Esto es fácil de demostrar. Si al exponente le llamamos "m" y este es un número entero, siempre se cumplirá: m = 4·k + n Siendo n < 4 Así pues, la unidad imaginaria i, elevada a un número m,

 El producto de dos números complejos se define como: (x 1 , y 1 )(x 2 , y 2 ) = (x 1 x 2 - y 1 y 2 , x 1 y 2 + y 1 x 2 ) Ejemplo Calcular el producto de los números complejos (-3, 0) y (2,1): (-3, 0) · (2, 1) = (-6, -3 -0) = (-6, -3) Propiedades de la multiplicación de números complejos Asociativa (x 1 , y 1 )·[ (x 2 , y 2 )· (x 3 , y 3 )] = [ (x 1 , y 1 )· (x 2 , y 2 )]· (x 3 , y 3 ) Conmutativa (x 1 , y 1 )· (x 2 , y 2 ) =  (x 2 , y 2 )· (x 1 , y 1 ) Elemento neutro El elemento neutro para la multiplicación es el (1, 0) así tenemos que: (x 1 , y 1 )·(1, 0) = ( x 1 ·1 -  y 1  ·0,  x 1 ·0 +  y 1  ·1) =  (x 1 , y 1 ) Propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición (x 1 , y 1

 Dados dos números complejos (x₁, y₁), (x₂, y₂), definimos su suma del siguiente modo: (x₁, y₁) +  (x₂, y₂) = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ) Ejemplo Suma de los números complejos: (0, 1) y (3, -2) [0 + 3, 1 + (-2)] = (3, -1) Propiedades de la suma de números complejos Asociativa (x 1 , y 1 ) + [(x 2 , y 2 ) + (x 3 , y 3 )] = [(x 1 , y 1 ) + (x 2 , y 2 )] + (x 3 , y 3 ) Conmutativa (x 1 , y 1 ) +  (x 2 , y 2 ) =  (x 2 , y 2 ) +  (x 1 , y 1 ) Elemento neutro (x 1 , y 1 )  + (0, 0) =  (x 1 , y 1 )  Todo número complejo tiene su opuesto El opuesto de  (x 1 , y 1 ) es  (-x 1 , -y 1 ), ya que: (x 1 , y 1 ) +  (-x 1 , -y 1 ) = (0, 0)

 En el cuerpo de los números reales, la ecuación x² + 1 = 0 no tiene solución, ya que no existe ningún número real que la verifique, pues si existiese tal número debería cumplir que x² = -1, y esto es imposible ya que el cuadrado de cualquier número real es siempre positivo. Por tanto, necesitamos encontrar un cuerpo mayor en el cual tenga solución la ecuación x² + 1 = 0. A dicho cuerpo lo llamaremos cuerpo de los números complejos y lo representamos por C. Definición de número complejo En el producto cartesiano R X R, es decir, el conjunto de todos los pares ordenados (x, y), donde "x" e "y" pertenecen a R, definimos dos operaciones: suma y producto, que le darán estructura de cuerpo; a este cuerpo le llamaremos cuerpo de los números complejos. Por tanto, cada número complejo será por definición un par ordenado de números reales. Igualdad de números complejos Diremos que dos números complejos (x₁, y₁), (x₂, y₂) son iguales cuando lo tengan sus componentes respectiv

 Ejercicio 1 Tenemos que simplificar las siguientes fracciones: (5x² - 15x)/(10x³ + 15x²) (2x - 4)/(x² - 4x + 4) (x² - 4)/(x² - 5x + 6) 1. (5x² - 15x)/(10x³ + 15x²) Sacamos factor común 5x en el numerador y en el denominador: [5x(x - 3)]/[5x(2x² + 3x)] = (x - 3)/(2x² + 3x) 2. (2x - 4)/(x² - 4x + 4) Se comprueba que el denominador es un cuadrado perfecto:  x² - 4x + 4 = (x - 2)². Y sacando factor común al numerador tenemos: 2(x - 2)/(x - 2)² = 2/(x - 2) 3. (x² - 4)/(x² - 5x + 6) Descomponiendo en factores numerador y denominador: [(x - 2)·(x + 2)]/[(x - 2)·(x - 3)] = (x + 2)/(x - 3) Ejercicio 2 Dadas las funciones siguientes: f(x) = 1/(3x² + 7) h(x) = 3x³ - 5x + 8 g(x) = x³ + 1/x² indicar si son o no funciones polinómicas. f(x) no es una función polinómica, ya que está expresada como la inversa de una función polinómic

 Las funciones polinómicas de grado 2, vendrán representadas por una ecuación de la forma y = f(x) = ɑx² + βx + ℽ La gráfica de estas funciones polinómicas de grado 2 va a ser siempre una parábola. Podemos considerar tres casos. 1. ɑ = número real cualquiera, β = 0, ℽ = 0 La función será f(x) = ɑx². Esta función verifica que f(0) = 0, y f(-x) = f(x) (la función es par), y su representación gráfica dependerá del signo de ɑ. Suponiendo que ɑ sea mayor que cero, su representación gráfica será: Y si suponemos que ɑ es menor que cero, la gráfica será: 2. ɑ = número real cualquiera, ℽ = número real cualquiera, β = 0 La función será y = f(x) = ɑx² + ℽ. Esta función verifica que y = f(0) = ℽ. Por lo tanto, el vértice de la parábola ya no será el punto (0,0), sino el punto (0, ℽ). Además, se seguirá verificando que f(-x) = f(x) (ɑ·(-x)² + ℽ = ɑx² + ℽ), es decir, que f(x) es una función par, luego es simétrica respecto al eje y. Si s