Multiplicación y división de números complejos
El producto de dos números complejos se define como:
(x1, y1)(x2, y2) = (x1x2 - y1y2, x1y2 + y1x2)
Ejemplo
Calcular el producto de los números complejos (-3, 0) y (2,1):
(-3, 0) · (2, 1) = (-6, -3 -0) = (-6, -3)
Propiedades de la multiplicación de números complejos
- Asociativa
(x1, y1)·[(x2, y2)·(x3, y3)] = [(x1, y1)·(x2, y2)]·(x3, y3)
- Conmutativa
(x1, y1)·(x2, y2) = (x2, y2)·(x1, y1)
- Elemento neutro
El elemento neutro para la multiplicación es el (1, 0) así tenemos que:
(x1, y1)·(1, 0) = (x1·1 - y1 ·0, x1·0 + y1 ·1) = (x1, y1)
- Propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición
(x1, y1)·[(x2, y2) + (x3, y3)] = [(x1, y1)·(x2, y2) + (x1, y1)·(x3, y3)]
- Elemento inverso
Llamamos inverso de un número del número complejo (x, y) a otro número
complejo que representamos por (x, y)-1, tal que verifica:
(x, y)-1 = (x/(x² + y²), -y/(x² + y²))
además se verifica que:
(x,y)·(x,y)-1 = (1, 0)
División de números complejos
Se define como cociente de dos números complejos, (x₁, y₁) y (x₂, y₂), como el
producto de (x₁, y₁) por el inverso de (x₂, y₂).
Ejemplo
Efectuar la división: (-1, 2)/(3, 1)
(-1,2)/(3,1) = (-1,2)·(3,1)-1
Calculamos el inverso de (3,1):
(3,1)-1 = (3/(3²+1²), -1/(3²+1²)) = (3/10, -1/10)
Realizando el producto (-1, 2)·(3/10, -1/10):
(-3/10 + 2/10, 6/10 + 1/10) = (-1/10, 7/10)
La división de números complejos verifica la siguiente propiedad;
(x₁, y₁)/(1,0) = (x₁, y₁)
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