Gráfica de la función polinómica de grado 2

 Las funciones polinómicas de grado 2, vendrán representadas por una ecuación de la forma

y = f(x) = ɑx² + βx + ℽ

La gráfica de estas funciones polinómicas de grado 2 va a ser siempre una parábola. Podemos considerar tres casos.

1.

ɑ = número real cualquiera, β = 0, ℽ = 0

La función será f(x) = ɑx². Esta función verifica que f(0) = 0, y f(-x) = f(x) (la función es par), y su representación gráfica dependerá del signo de ɑ.

Suponiendo que ɑ sea mayor que cero, su representación gráfica será:

Y si suponemos que ɑ es menor que cero, la gráfica será:

2.

ɑ = número real cualquiera, ℽ = número real cualquiera, β = 0

La función será y = f(x) = ɑx² + ℽ.

Esta función verifica que y = f(0) = ℽ.

Por lo tanto, el vértice de la parábola ya no será el punto (0,0), sino el punto (0, ℽ).

Además, se seguirá verificando que f(-x) = f(x) (ɑ·(-x)² + ℽ = ɑx² + ℽ), es decir, que f(x) es una función par, luego es simétrica respecto al eje y.

Si suponemos que ℽ > 0, la representación gráfica de la función será la misma que la de f(x) =  ɑx², trasladada ℽ unidades.

3.

ɑ = número real cualquiera, β = número real cualquiera, ℽ = número real cualquiera

La función vendrá dada por y = f(x) =  ɑx² + βx + ℽ. Para la representación gráfica de esta función necesitamos conocer el vértice de la parábola que representa. Las coordenadas del vértice de la parábola serán V = (x, y) =( -β/2ɑ, (4ɑℽ - β²)/4ɑ).

Pueden ocurrir dos casos:

• Si en el punto x =  -β/2ɑ, la función f(x) alcanza el valor máximo, la gráfica de la función vendrá dada por:

Si en el punto x =  -β/2ɑ, la función f(x) alcanza el valor mínimo, la gráfica de la función vendrá dada por:

Ejemplo

Tenemos que representar la gráfica de la función y = 2x² - 3x + 1.

Calculamos primero las coordenadas del vértice:

V = ( -β/2ɑ, (4ɑℽ - β²)/4ɑ) = -(-3)/(2·2), (4·2·1 - (-3)²)/(4·2)) = (3/4, -1/8)

A continuación, calculamos los puntos de corte con los ejes:

• Puntos de corte con el eje x:

Resolviendo la ecuación 2x² - 3x + 1 = 0 nos da los puntos de corte con el eje x. Se trata de una ecuación de segundo grado, por lo que al aplicar su fórmula para la resolución, obtenemos como soluciones de x: 

x = 1, x = 1/2

los puntos serán (1,0) y (1/2, 0).

• Puntos de corte con el eje y:

Sustituyendo en la ecuación el valor x = 0, se obtiene el valor "y", en este caso, y = 1.

El punto de corte será (0,1).

La gráfica será de la forma:

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NOTA: Para resolver una ecuación de segundo grado, se utiliza la fórmula:

x = (-b ±√(b² - 4ac))/2a