Ejercicios de ampliación de los polinomios

 Ejercicio 1

Tenemos que simplificar las siguientes fracciones:
  1. (5x² - 15x)/(10x³ + 15x²)
  2. (2x - 4)/(x² - 4x + 4)
  3. (x² - 4)/(x² - 5x + 6)
1.

(5x² - 15x)/(10x³ + 15x²)

Sacamos factor común 5x en el numerador y en el denominador:

[5x(x - 3)]/[5x(2x² + 3x)] = (x - 3)/(2x² + 3x)

2.

(2x - 4)/(x² - 4x + 4)

Se comprueba que el denominador es un cuadrado perfecto: x² - 4x + 4 = (x - 2)².
Y sacando factor común al numerador tenemos:

2(x - 2)/(x - 2)² = 2/(x - 2)

3.
(x² - 4)/(x² - 5x + 6)
Descomponiendo en factores numerador y denominador:

[(x - 2)·(x + 2)]/[(x - 2)·(x - 3)] = (x + 2)/(x - 3)

Ejercicio 2

Dadas las funciones siguientes:
  1. f(x) = 1/(3x² + 7)
  2. h(x) = 3x³ - 5x + 8
  3. g(x) = x³ + 1/x²
indicar si son o no funciones polinómicas.
  • f(x) no es una función polinómica, ya que está expresada como la inversa de una función polinómica, que es 3x² + 7, y la inversa de una función polinómica no es una función polinómica.
  • h(x) es una función polinómica, ya que viene expresada por el polinomio 3x³ - 5x + 8.
  • g(x) no es una función polinómica, ya que la expresión  x³ + 1/x².

Ejercicio 3

Representar las siguientes funciones:
  1. y = 2x + 1
  2. y = -2x² + 3x + 2
1.

y = 2x + 1

Al tratarse de una función polinómica de primer grado, su gráfica será una recta. Por tanto, para representarla, bastará con hallar dos puntos.

Vamos a calcular los puntos de corte con los ejes de coordenadas.
  • Punto de corte con el eje x
y = 0

2x + 1 = 0 → x = -1/2 → el punto será (-1/2, 0).

  • Punto de corte con el eje y 

x = 0

y = 2·0 + 1 = 1 → el punto será (1, 1)

Por lo tanto:

Gráfica y = 2x + 1

 

2.

y = -2x² + 3x + 2

Al tratarse de una función polinómica de segundo grado, la representación será una parábola.

El vértice será:

V = (-3/(2·(-2), (4·(-2)·2 - 9)/(4·(-2))) = (3/4, 25/8)

  • Puntos de corte con el eje x

y = 0

-2x² + 3x + 2 = 0

Resolviendo la ecuación de segundo grado, vemos que la parábola pasa por los puntos (2, 0) y (-1/2, 0)

  • Puntos de corte con el eje y

 x = 0

y = 2

Por lo tanto, el punto será (0, 2)

Por lo que su representación gráfica será:

Gráfica de la función y = -2x^2 + 3x + 2

 

Comentarios

Publicar un comentario

Puedes dejar tus comentarios, sugerencias o dudas.

Entradas populares de este blog

Cálculo de la característica y de la mantisa

 Cálculo de la característica Todo número está comprendido entre dos potencias; la característica será el exponente de la menor de las dos potencias. Por ejemplo, sea el número 73. 73 es menor que 100, pero mayor que 10. 10¹<73<10² La característica de 10 es 1 y su mantisa es 0. La característica de 100 es 2 y su mantisa es 0. El logaritmo de 73 no podrá llegar a 2 pero tendrá que ser mayor que 1. 1<log 73 <2 log73 = 1,.... Sea ahora el número 0,0007. En este caso, el número es mayor que 0,0001 y menor que 0,001 0,0001 < 0,0007 < 0,001 10 -4 <0,0007<10 -3 Nuestro número tendrá por tanto un logaritmo comprendido entre -4 y -3: -4 < log 0,0007<-3 log 0,0007 = -4..... La mantisa de un logaritmo es siempre positiva; por ello cuando la característica es negativa se señala colocando encima de ella un signo negativo: log 0,0007
Leer más

Fórmula de aproximación de Taylor

 Polinomios de Taylor Dado el polinomio P(x) de grado n y un x = x₀ queremos ordenarlo en potencias de (x-x₀). Es decir: P(x) = a₀ + a₁(x-x₀)+a₂(x-x₀)²+...+aₙ(x-x₀)ⁿ O sea, tenemos que calcular los coeficientes a₀, a₁, a₂,..., aₙ, pero no lo haremos aplicando las divisiones sucesivas de la Regla de Ruffini, sino por derivación . Los coeficientes se determinan del siguiente modo: P(x₀) = a₀ Derivamos el polinomio sucesivamente: P'(x) = a₁ + 2a₂·(x-x₀) + 3·a₃·(x-x₀)²+...+n·aₙ·(x-x₀) n-1 P''(x) = 2a₂ + 6a₃·(x-x₀) + ...+n(n-1)·aₙ·(x-x₀) n-2 .......................................................................................................... P (n (x) = n!·aₙ Si lo particularizamos en el punto x₀ tenemos: P'(x₀) = a₁ P''(x₀) = 2!·a₂ P'''(x₀) = 3!·a₃ ..............................................................................
Leer más

Formas de representar la recta (1)

 Tenemos varias formas de representar la recta: Forma normal Si en las ecuaciones paramétricas, explicadas en la entrada anterior , eliminamos 𝜌: (x-x₁)/p = (y - y₁)/q = (z - z₁)/r que es la ecuación normal o continua de la recta. Si lo referimos a ejes rectangulares: p = cos 𝛼, q = cos ꞵ, r = cos 𝛾 y por tanto: (x - x₁)/ cos 𝛼 = (y - y₁)/cos ꞵ = (z - z₁)/cos 𝛾 siendo 𝛼, ꞵ, 𝛾 los ángulos que forma la recta con los ejes coordenados. Tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales en el cual, si conocemos la razón común, 𝜌, obtendríamos las tres ecuaciones paramétricas que dan las coordenadas x, y, z de todos los puntos que pertenecen a la recta. Forma ordinaria Podemos definir la línea recta como la intersección de los dos planos proyectantes sobre los planos xz y yz. Tendremos entonces el sistema: x = az + h y = bz + k que es la forma ordinaria de la recta y que se ve que: (x - h)/a = z, así como (y - k)/b = z Luego: (x - h)/a = (y - k)/b = (z - 0)/1 que es la forma normal de la
Leer más