Supermatemáticas a tu alcance

 Veamos algunos ejercicios de operaciones con logaritmos. Ejercicio 1 Desarrollar log a ((A³·√C)/B²) Primero quitamos el cociente: log a ((A³·√C)/B²) = log a ((A³·√C)) - log a B² Del primer logaritmo eliminamos el producto: log a ((A³·√C)/B²) = log a A³ + log a √C - log a B² Del segundo logaritmo quitamos la raíz: log a ((A³·√C)/B²) = loga A³ + (1/2)·log a C - log a B² Del primero y tercer logaritmo eliminamos las potencias: log a ((A³·√C)/B²) = 3·log a A + (1/2)·log a C - 2log a B Como se ve, lo único que se ha hecho es aplicar a la expresión de partida las propiedades de las operaciones con logaritmos descritas anteriormente. Ejercicio 2 Sea ahora la expresión a desarrollar: log a (41/3𝝅r³) En este caso, se nos plantea el logaritmo del producto entre tres términos. Aplicando el logaritmo de un producto tendremos: log a (41/3𝝅r³) = log a

 Logaritmo de un producto El logaritmo del producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de dichos números. Demostración Sean  log a M = X, log a N = Y Por definición M = a x , N = a y Si las multiplicamos, tenemos: M·N = a x ·a y Para multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes. M·N = a x+y De donde por la definición de los logaritmos podemos sacar que: log a (M·N) = x + y Como x e y son los respectivos logaritmos de M y N, podemos poner: log a (M·N) = log a M + log a N Logaritmo de un cociente El logaritmo de un cociente entre dos números es el logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor. Demostración log a M = X, log a N = Y Por definición: M = a x , N = a y Dividiendo las dos expresiones: M/N = a x /a y Para dividir dos potencias de la misma base se restan los exponentes: M/N = a x-y Por la definición de logaritmo: log a (M/N) = x - y

Lo primero que tenemos que hacer es definir qué es el logaritmo de un número en una base dada; pues bien, el logaritmo de x en base "a" se puede definir como el número "y" al que es preciso elevar la base "a" para obtener x. Según que la base "a" sea mayor o menor que la unidad el sistema de logaritmos tendrá unas propiedades u otras. Sea la base mayor que la unidad (a > 1), entonces las propiedades serán: El logaritmo de 1 es igual a cero (log a 1 = 0) El logaritmo de la base será igual a la unidad. Los números menores que la unidad tienen logaritmos negativos. Los números mayores que la unidad tienen logaritmos positivos. El logaritmo de cero vale menos infinito (log a 0 = -∞). Los números negativos no tienen logaritmo. El logaritmo de un número que es una potencia exacta de la base es siempre igual al exponente. Cuando la base "a" es menor q

 Dada la función y = log 1/5 x, realizar la representación gráfica. Para ello, damos a la variable x una serie de valores (1/25, 1/5, 1, 5, 25). Realizamos la tabla de valores:

 En este caso vamos a estudiar la función logarítmica y = log 1/2 x, y fijarnos en su representación gráfica. La base de esta función logarítmica es el número real, positivo 1/2. La gráfica de esta función nos está indicando que es una función de tipo decreciente , es decir, al tomar dos números reales x y x´, tales que x´> x, se cumple que log 1/2 x´< log 1/2 x. El campo de existencia es el intervalo (0, ∞) ya que al igual que el caso anterior, los números negativos no tienen logaritmos. Al tomar x valores "positivos" cada vez más grandes, la función y = log 1/2 x irá tomando valores cada vez menores, decreciendo de forma indefinida. Al tomar x valores "positivos" cada vez más cercanos a cero, la función y = log 1/2 x irá tomando cada vez valores mayores, aunque nunca cortará al eje de las "y". Al tomar x el valor de uno, la función y = log 1/2 x tomará el valor de cero. Al tomar x el valor de la base,

 Nos vamos a fijar en la función y = log 3 (x) vista en anteriores entradas y en su representación gráfica. La base de esta función logarítmica es el número real, positivo 3. La gráfica nos indica que es una función de tipo creciente, es decir, que tomados 2 números reales x y x´, tales que x´> x, se cumple que log 3 x´> log 3 x. Por ejemplo, si comparamos los valores 27 y 9: 27 > 9 ⇒ log 3 27 > log 3 9 El campo de existencia es el intervalo (0, ∞), ya que por la propia definición logarítmica los números negativos no poseen logaritmos. Al tomar x valores "positivos" cada vez más grandes, la función y = log 3 x irá creciendo también de forma indefinida. Al tomar x valores positivos cada vez más cercanos a 0, la función y = log 3 x irá tomando valores cada vez menores, tendiendo a -∞, aunque nunca cortará al eje de las "y". Al tomar x el valor de uno, la función y = log 3 x tomará el valor de cero.

 Veamos esta entrada de una forma directa con el ejemplo numérico visto en esta otra entrada. y = log 3 x Observa que esta función es la inversa de y = 3 x . Realicemos la tabla de valores Representamos Analicemos otro ejemplo, donde la base sea un número mayor que cero, pero menor uno. y = log 1/2 x Esta función es la inversa de la función exponencial: y = (1/2) x Realizamos una tabla de valores: Ya que: log 1/2 1 = 0, puesto que (1/2) 0 = 1 log 1/2 1/2 = 1, puesto que (1/2) 1 = 1/2 log 1/2 1/4 = 2, puesto que (1/2) 2 = 1/4 log 1/2 1/8 = 3, puesto que (1/2) 3 = 1/8 log 1/2 2 = -1, puesto que (1/2) -1 = 2 log 1/2 4= -2, puesto que (1/2) -2 = 4 Representamos el cuadro de valores:

 Anteriormente, estudiamos la función exponencial: x→f(x) = y = a x Pues bien, la inversa de esta función es otra función que cumple: y = a x → f -1 (y) = x A esta inversa f -1 (y) se le representa por la expresión "log a y". Por tanto: f -1 (y) = x = log a y, equivale a y = a x Lo normal en Matemáticas es representar la variable independiente por la letra "x" y la dependiente por la letra "y", entonces escribiremos: f -1 (x) = y = log a x ⇔ x = a x A esta aplicación se la conoce con el nombre de Función logarítmica, y se lee " y es igual al logaritmo en base a del número x ". La base "a" es un número real positivo y distinto de uno, al igual que ocurría con la función exponencial. Ejemplo Tenemos la función logarítmica y = log 3 x Las imágenes de {3, 9, 27} son: f(3) = log 3 3 = 1, ya que 3 = 3 1 f(9) = log 3 9 = 2, ya que 9 = 3 2 f(27) = log 3 27 = 3, ya que 27 =

 Algunos ejercicios para comprender mejor la función exponencial. Ejercicio 1 Tenemos que hallar las imágenes de -1, -1/2, 0, 1/2, mediante la función exponencial de base 9. Representar la función en los ejes cartesianos. Para x = -1 → f(-1) = 9 -1 = 1/9 Para x = -1/2 → f(-1/2) = 9 -1/2 = 1/3 Para x = 0 → f(0) = 9 0 = 1 Para x = 1/2 → f(1/2) = 9 1/2 =√9 = 3 Cada par de valores representan un punto en el gráfico cartesiano. Vamos a colocarlos en una tabla de valores para verlo más claramente. Ejercicio 2 Hallar las imágenes de 1, 0, -1 y -2 mediante la función exponencial de base 1/4. Representar la función en unos ejes de coordenadas cartesianas rectangulares. Para x = 1 → f(1) = (1/4) 1 = 1/4 Para x = 0 → f(0) = (1/4) 0 = 1 Para x = -1 → f(-1) = (1/4) -1 = 4 Para x = -2 → f(-2) = (1/4) -2 = 16 Agrupando estos pares de valores en la tabla tendremo

 Ahora vamos a fijarnos en la función f:x→(1/2) x vista en una entrada anterior . La base de esta función exponencial es el número real, positivo 1/2. Si miramos la gráfica, ésta nos indica que la función es de tipo decreciente, es decir, que tomados 2 números reales x y x´, tales que x' > x, se cumple que (1/2) x´ < (1/2) x : x'>x ⇒(1/2) x´ < (1/2) x : Decreciente Por ejemplo, si comparamos x = 1, x = 0 1 > 0 ⇒ (1/2) 1 < (1/2) 0 El campo de existencia de la función es el intervalo (-∞,+∞), ya que la función está definida para todos los valores de x∈R. Esto quiere decir que cualquiera que sea el valor de las x, existirá siempre un valor de y, que cumple la función y = (1/2) x . Al tomar x valores positivos cada vez mayores, la función y = (1/2) x irá decreciendo de forma indefinida, aproximándose a cero, aunque no se anulará, es decir, siempre se encontrará la gráfica por encima del eje de las x, nunca se cortará.

 Vamos a fijarnos en la función f:x→3 x de la entrada anterior y en su representación gráfica. La base de esta función exponencial es el número real positivo 3. La gráfica nos está indicando que está función es de tipo creciente, es decir, que tomados dos números reales x y x´, tales que x > x´, se cumple que 3 x > 3 x´ . Puedes verlo muy claro revisando las entradas relacionadas. Por ejemplo, si comparamos los valores 2 y 1 de la tabla de valores de esta función: 2 > 1 ⇒ 3 2 > 3 1 Su campo de existencia es el intervalo (-∞, +∞) ya que la función está definida para todos los valores de X∈R. Esto quiere decir que cualquiera que sea el valor de las x, existirá un valor y que cumple la función y = 3 x . Al tomar x valores positivos cada vez mayores, la función y = 3 x irá creciendo también de forma indefinida. Por ejemplo: Al tomar x valores negativos cada vez menores, la función y = 3 x se irá aproximando a 0, aunque

 Veamos este tema de forma directa con un ejemplo numérico. Sea la función f:x→3 x Realicemos la tabla de valores: Tomemos otro ejemplo. Sea ahora la función f:x→(1/2) x Realicemos al igual que en el ejemplo anterior, la tabla de valores:

 Tomemos un número real, positivo y distinto de uno "a", que llamaremos base, pues bien la función exponencial de base "a" será una aplicación tal que x→ y = f(x) = a x del conjunto R en R + . La base "a" será siempre un número constante, mientras que el exponente "x" será un número variable. Ejemplo Tomemos un conjunto A formado por los elementos {1, 3, 5}, si aplicamos sobre este conjunto la función exponencial de base 3, las imágenes de los elementos del conjunto A serán las siguientes: Para x = 1 → f(1) = 3 1 = 3 Para x = 3 → f(3) = 3 3 = 27 Para x = 5 → f(5) = 3 5 = 243 Ejemplo Sea A = {0, -2, 4} y la base 5, si aplicamos la función exponencial las imágenes de los elementos serán: Para x = 0 →f(0) = 5 0 = 1 Para x = -2 →f(-2) = 5 -2 = 1/5 2 = 1/25 Para x = 4 → f(4) = 5 4 = 625 Puesto que se trata de una aplicación de R en R x , es decir

 El problema de la intersección de funciones se resuelve analíticamente  de la misma forma en que se resuelve un sistema de ecuaciones. Estas soluciones serán los puntos de corte de las dos funciones. Respecto al estudio gráfico basta con representar sobre los ejes de coordenadas las dos funciones de forma individual y ver los puntos de cortes que presentan entre sí. Ejemplo Sean las ecuaciones: y = 2x - 3 y = -x + 6 Empleando el método de igualación tendremos: 2x - 3 = -x + 6 Agrupando las x en el primero miembro y los números en el segundo: 2x + x = 6 + 3 3x = 9 Despejando x = 9/3 = 3 y = -3 + 6 = 3 (3, 3) serán las coordenadas del punto de corte de las dos funciones. Realizamos las dos tablas de valores; Ejemplo y = 2x 2 y = x + 1 Solucionando el sistema por igualación tenemos: 2x 2 = x + 1 Pasamos todo al primer miembro: 2x 2 -x -1 = 0 Solucionamos la ecuación aplicando

 Las características gráficas que vamos a ver están dadas de forma general. Un estudio más minucioso se realizará en temas posteriores. Tramo creciente Se puede decir que un tramo de la representación gráfica de cualquier función es creciente cuando tomando dos puntos cualesquiera, A y B de ella, éstos se caractericen por ser la "x" de B mayor que la "x" de A se cumpla que la "y" de B es también mayor que la "y" de A. Tramo decreciente Se puede decir que un tramo de la representación gráfica de cualquier función es decreciente cuando tomamos dos puntos cualesquiera, A y B de ella, éstos se caractericen por ser la "x" de B mayor que la "x" de A y se cumple que la "y" de B es menor que la "y" de A. Máximo Se dice que un punto A de una curva es un máximo cuando su ordenada (valor de y) es mayor que la de todos aquellos puntos que tiene a su derecha e izquierda,

 Hasta ahora hemos estudiado casos muy generales de función donde el exponente de "x" variaba desde el valor 1 al valor 3, dando a la hora de la representación una línea recta, una parábola y una línea curva no parabólica. No obstante, la función de la forma y = ax n puede presentar cualquier grado, ya que n puede tomar todos los valores positivos y enteros. Por tanto, nos podemos encontrar con funciones del tipo: y = -4x 112 + x 89 + 3x 6 - 2 y = 9x 70 - 90 y = 45x 67 , etc. Se tomará como ejemplo la función y = (1/2)x 5 + 1, por ser mucho más operativa que las anteriores al presentar la x un exponente menor. Como ya la tenemos de forma explícita, pasamos directamente a la realización de la tabla de valores:

 Estas funciones donde el exponente que presenta la variable x es un 3 se caracterizan por tener una representación gráfica curva, pero no de forma parabólica. Como, por otro lado, carece de término independiente, la gráfica tendrá que pasar por el punto (0, 0) origen de coordenadas. Al igual que las funciones vistas anteriormente, se pueden presentar dos casos: cuando "a" toma valores positivos y cuando "a" toma valores negativos. Ejemplo Supongamos la función y = 3x 3 . ¿Cómo será su representación gráfica? Como la función se encuentra en forma explícita, no tenemos más que calcular la tabla de valores, trazar los ejes de coordenadas cartesianas, situar los puntos en éstos, y dibujar por último la gráfica. Podemos dar a la variable independiente x, valores comprendidos entre -2 y 2, y pasamos a continuación a calcular las imágenes. Ejemplo Sea ahora la función y = -3x 3 , como

 Tanto este tipo de función como las dos anteriores son funciones de segundo grado; por tanto, su representación gráfica será también una parábola, que como en la entrada anterior, nunca pasará por el origen de coordenadas. El hecho de poseer un nuevo término determina que la representación de la función se haga más variada. Por lo tanto, para representar esta parábola hay que seguir los siguientes pasos: Encontrar los puntos de corte de la función con el eje de coordenadas OX y esto se realiza haciendo y = 0, con lo cual la función se transforma en una ecuación de segundo grado completa. Calcular el eje de simetría , ya que, como sabemos, una parábola es una curva simétrica y por tanto presenta un eje. El cálculo de este eje se puede realizar de dos formas, bien mediante la semisuma de las soluciones obtenidas en el paso anterior, o bien mediante la operación -b/2a. Se calculan las coordenadas (x, y) del vértice de l

 La función que vamos a estudiar a continuación es del mismo tipo que la vista anteriormente , con la única excepción de un término independiente "b" que va a determinar que la parábola nunca pase por el origen de coordenadas , punto (0,0). Veamos algunos ejemplos: Ejemplo y = x 2 + 4 Como la función está en forma explícita pasamos a la realización de la tabla de valores: Ejemplo y = -3x 2 - 2 Realizamos la escala: Si observas la gráfica de ambos casos, verás que las parábolas presentan su vértice siempre en el eje de ordenadas en OY, bien en la parte positiva, bien en la parte negativa, estando determinado esto último por el valor que tome el término independiente.  Por otro lado, la parábola se abre hacia arriba cuando a > 0, es decir, cuando es positiva; y se abre hacia abajo cuando a < 0, es decir, cuando es negativa.

 Este tipo de funciones en las que x aparece con exponente 2 se caracterizan por tener como representación gráfica una línea curva simétrica, de forma parabólica, cualquiera que sea el valor o signo de "a". Por otro lado, al carecer de término independiente necesariamente pasará por el eje de coordenadas, punto (0,0), donde tendrá su vértice. Dentro del estudio de este tipo de funciones se pueden presentar dos casos típicos: cuando "a" toma valores positivos y cuando "a" toma valores negativos. Ejemplo Si suponemos la función y = 2x 2 , ¿Cuál será su representación gráfica? En primer lugar, tenemos que ver si la función está en forma explícita o implícita. Recordando lo ya explicado, se observa que esta función está en forma explícita; el paso siguiente consistirá en trazar los ejes de coordenadas cartesianas rectangulares y calcular la tabla de valores que trasladaremos al gráfico. El último paso consistirá en unir

 En este tipo de función la x también aparece con exponente uno; cabe por tanto preguntarse que diferencias hay entre la función anterior y la del presente caso. La única diferencia está en que en esta función si existe término independiente y por tanto a la hora de representarla vamos a tener una línea recta, pero con la diferencia de que ésta nunca pasará por el eje de coordenadas. Ejemplo Sea la función y = x + 1 Realizamos la escala: Ejemplo Sea la función 15x + 3y = 30 Primero la ponemos de forma explícita: 15x + 3y = 30 3y = 30 - 15x y = (30 - 15x)/3 = 30/3 - 15x/3 y = 10 - 5x Realizamos la escala:

 Este tipo de funciones en las que la x aparece con exponente uno se caracterizan por tener como representación gráfica una línea recta, cualquiera que sea el valor o signo de "a". Por otro lado, al carecer de término independiente, necesariamente pasa por el origen de coordenadas, es decir, por el punto (0, 0). Ejemplo Tomemos como muestra la función y = -0,5x y representémosla gráficamente. Realizamos la escala: Ejemplo Sea ahora la función y = (3/2)x. Realizamos la escala: Vemos, como ya se enunció anteriormente, que las dos funciones, por carecer de término independiente pasan por el eje de coordenadas, sea cual sea el valor del signo que tome a, y por otro lado, siempre son líneas rectas, es decir, estas funciones son la ecuación de una línea recta .

 Toda función, por el hecho de serlo, puede representarse por distintos métodos, como pueden ser el diagrama de flechas, los grafos, etc. Sin embargo, la representación más usada es la de El Diagrama de Coordenadas Cartesianas Rectangulares . Este sistema consiste en dos ejes o rectas que se cortan perpendicularmente. El eje horizontal se denomina eje de abscisas o de las x, mientras que el vertical es el eje de ordenadas o el de las y. El punto común se denomina origen de coordenadas; a partir de este punto hacia la derecha se colocan los valores positivos de la variable x, mientras que hacia la izquierda se encuentran los valores negativos. En el eje de ordenadas se encuentran los valores positivos de y por encima del origen de coordenadas, mientras que los negativos se encuentran por debajo. Como ya se sabe, a cada valor x del conjunto original le va a corresponder un valor y del conjunto imagen; estos pares números van a constituir una serie de puntos A, B, C... que se pueden repre