Supermatemáticas a tu alcance

 Si dos rectas son paralelas, sus pendientes son iguales: m₁ = m₂ Si dos rectas son perpendiculares, sus pendientes son recíprocas y de signo contrario. m₂ = -1/m₁ Recta paralela a una dada por un punto Si tenemos la recta de la ecuación: r: Ax + By +C = 0 y el punto A de coordenadas (x₁, y₁) y nos piden hallar la paralela a la recta en ese punto, tendremos que tener en cuenta que la recta pedida tiene igual pendiente que la recta dada, o sea: m = -A/B = m' Como además tiene que pasar por el punto A(x₁, y₁), su ecuación será: y - y₁ = -(A/B)·(x - x₁) o bien: A(x - x₁) + B(y - y₁) = 0 También se puede desarrollar vectorialmente (vectores i, j ), y hallar sus respectivas ecuaciones paramétricas. Recta perpendicular a una dada por un punto Si tenemos la recta Ax + By + C = 0, y el punto A(x₁, y₁), la pendiente de la recta pedida será: m' = -1/m = -[1/(-A/B)] = B/A y la recta que buscamos será: (y - y₁) = (B/A)(x - x₁) o bien: (x - x₁)B - (y - y₁)A = 0 También se puede hallar vecto

 Si tenemos dos rectas, al cortarse, forman cuatro ángulos que son iguales dos a dos por tratarse de ángulos opuestos por el vértice. Otra propiedad es que sus ángulos son suplementarios dos a dos. Como norma general, se llama ángulo de dos rectas al menor de los ángulos formados; será un ángulo agudo y como máximo un ángulo recto. Así pues, el coseno de este ángulo estará comprendido entre 0 y 1, y por lo tanto, siempre será un número positivo. Según la expresión de las rectas, puede ser: Forma vectorial. Forma general. Forma vectorial El ángulo que forman las rectas es igual al que forman sus vectores directores: a: x = x₁ + Vt b: x = x₂ + V't siendo: V = (v₁, v₂) V' = (v'₁, v'₂) El ángulo que forman sería igual al formado por V y por V': a, b = V, V ' = 𝛼 Por el ángulo de dos vectores se tiene: cos 𝛼 = V·V' /(V·V') = (v₁v'₁ + v₂v'₂)/[√(v₁² + v₂²)·√(v'₁² + v&#

 Esta entrada es continuación de la anterior . Ecuación normal de la recta Si tenemos la ecuación general de recta, podemos pasar a la ecuación normal dividiendo ésta por la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los coeficientes  x e y. Si la ecuación general es: Ax + By + C = 0 La ecuación normal será: (Ax + By + C)/[√(A²+B²)] = 0 A los coeficientes de la ecuación normal: A/√(A²+B²) = cos 𝛼 y B/√(A²+B²) = sen 𝛼 se les llama cosenos directores y d = |C/√(A²+B²)| es la distancia de la recta al origen de coordenadas. Por lo tanto, la ecuación es x·cos 𝛼 + y·sen 𝛼 = d. Si la ecuación está en forma canónica: x/a + y/b = 1 entonces: a = d/(cos 𝛼) b = d/(sen 𝛼) luego: (x·cos 𝛼)/d + (y·sen 𝛼)/d = 1 los cosenos directores serán: x·cos 𝛼 + y·sen 𝛼 = d cos 𝛼 = d/a, sen 𝛼 = d/b Ejemplo Dada la ecuación de la recta 3x + 4y - 5 = 0, tenemos que hallar la ecuación normal. Solución (3x + 4y -5)/(√(9+16)) = 0 (3/5

 Ecuaciones explícitas e implícitas de la recta y - b = x·tg 𝛼 que es lo mismo que: y = x·tg 𝛼 + b (b es la ordenada en el origen) La ecuación explícita de la recta es entonces: y = mx +n donde m es igual a tg 𝛼, siendo 𝛼 el ángulo que forman la recta y el eje de abscisas. Si tenemos: y = -(A/B)x - C/B nos quedará: Ax + By + C = 0 que es la ecuación canónica de la recta. Si partimos de la ecuación canónica, siendo: a = -C/A b = -C/B nos quedará: x/a + y/b = 1 que es la ecuación de la recta en función de los segmentos que intercepta. Algunos aspectos importantes: A = 0 → recta paralela al eje x. B = 0 → recta paralela al eje y. C = 0 → recta que pasa por el origen. A = 0, C = 0 → eje x. B = 0, C = 0 → eje y. Ecuación de todas las rectas que pasan por un punto Sean (x₀, y₀) las coordenadas de un punto P. La ecuación de todas las rectas que pasan por el punto P será: y - y₀ = m(x - x₀) => A(x - x₀) + B(y - y₀) = 0 Ecuación de la recta que pasa por dos puntos Sean los puntos P₀(x₀,

 Para calcular el ángulo que forman dos vectores libres partimos de la expresión del producto escalar: a·b = |a||b|cos( a, b ) luego, despejando cos( a, b ) = a·b /|a||b| Podemos deducirlo también si nos dan los vectores por sus coordenadas: a = (x₁, y₁) y b = (x₂, y₂) en una base ortonormal : a·b = x₁x₂ + y₁y₂ como sabemos: |a| = √(x₁² + y₁²) |b| = √(x₂² + y₂²) Entonces: cos( a, b ) = (x₁x₂ + y₁y₂)/[√(x₁² + y₁²)·√(x₂² + y₂²)] Esta expresión nos permite el cálculo del coseno que forman dos vectores en función de sus coordenadas. Ejemplo Dados los vectores c = (3, -2) d = (5, 3) Tenemos que calcular los cosenos de los ángulos que forman estos vectores. Solución Sabemos que: c·d = |c |·| d | ·cos( c, d ) entonces: cos( c, d ) = c·d /|c||d| c·d = (3, -2)·(5, 3) = 15 + (-6) = 9 |c| = √(3²+(-2)²) = √13 |d| = √(5²+3²) = √34 cos( c, d ) = 9/(√13√34) = 0,428 (aprox.) El ángulo es por tanto: arc cos 0,428 = 64º 39' (en la calculadora, cos-1)

 Si tenemos dos bases ortonormales, se verifica: | u₁ | = | u₂ | = | v₁ | = | v₂ | = 1 u₁ es perpendicular a u₂ v₁ es perpendicular a v₂ Resulta que: u₁u₁ = u₂u₂ = v₁v₁ = v₂v₂ u₁u₂ = 0 v₁v₂ = 0 Siendo (h, k) (l, m) los coordenados de v₁, v₂ respecto de {u₁, u₂} tenemos: v₁ = h u₁ + k u₂ v₂ = l u₁ + m u₂ Multiplicando cada igualdad escalarmente por u₁, u₂, tenemos: u₁v₁ = h u₁u₁ + k u₂u₁ = h u₂v₁ = h u₁u₂ + k u₂u₂ = k u₁v₂ = l u₁u₁ + m u₂u₁ = l u₂v₂ = l u₁u₂ + m u₂u₂ = m Ahora, si llamamos 𝛼 al ángulo que forman u₁ y v₁ , también será 𝛼 el ángulo de u₂ y v₂ , y el ángulo que forman u₁ y v₂ será 𝜋/2 + 𝛼 y el ángulo de v₁, u₂ será 𝜋/2 - 𝛼. Tenemos entonces: h = u₁v₁ = |u₁||v₁|cos(u₁v₁) = 1·1·cos 𝛼 k = u₂v₁ = |u₂||v₁|cos(u₂v₁) = 1·1·cos (𝜋/2 - 𝛼) = + sen 𝛼 l = u₁v₂ = |u₁||v₂|cos(u₁v₂) = 1·1·cos (𝜋/2+ 𝛼) = - sen 𝛼 m = u₂v₂ = |u₂||v₂|cos(u₂v₂) = 1·1·cos 𝛼 quedan así las ecuaciones del cambio de bas

 Ya vimos anteriormente lo que era una base de un espacio vectorial . En el plano o espacio vectorial de dos dimensiones, la base está constituida por dos vectores cualesquiera no paralelos. Si los vectores base no son perpendiculares ni iguales, es una base cualquiera. Si los vectores de base son perpendiculares pero desiguales, es una base ortogonal. Si los vectores base son unitarios, normalizados pero no perpendiculares, la base es normal o normalizada. Se llama base ortonormal cuando los vectores que la constituyen son unitarios y perpendiculares. En el espacio de dos dimensiones, los vectores base se representan por i, j . Es decir: B = { i, j } i = 1· i + 0· j j = 0· i + 1· j Los coeficientes de la combinación lineal o coordenadas de los vectores base son: i = (1, 0) j = (0, 1) La representación de un vector en el sistema ortonormal será: a = a₁ i + a₂ j = (a₁, a₂)

La definición de módulo nos dice:  Se llama norma de un vector al producto escalar de un vector por sí mismo, lo que es lo mismo, al cuadrado de su módulo. Otra definición, la de vector unitario nos dice: Llamamos vectores unitarios a los vectores cuyo módulo es la unidad. Su norma, vale por lo tanto 1 Para normalizar un vector basta por dividirlo por su módulo. El producto de dos vectores unitarios presenta tres casos: Si son dos vectores unitarios (normalizados) cualesquiera, su producto es igual al coseno del ángulo que forman u₁·u₂ = | u₁ || u₂ |·cos 𝛼 = 1·1·cos 𝛼 = cos 𝛼 Si los vectores unitarios son perpendiculares su producto es 0. u₁·u₂ = | u₁ || u₂ |·cos 90º = 1·1·0 = 0 El producto de un vector unitario por si mismo es igual a la unidad. u₁·u₁ = 1·1·cos 0º = 1·1·1 = 1

 Conmutativa La propiedad conmutativa nos dice que: a·b = b·a a·b = | a | |b |cos( a, b ) => b·a = | b || a |cos( b, a ) Para que esto se cumpla tiene que ser: cos( a, b ) = cos( b, a ) Esto es cierto, ya que según vemos en la figura: cos 𝛼 = cos (-𝛼) AF = cos 𝛼 = cos (-𝛼) Propiedad asociativa entre elementos de V y de elementos de R Sea K un número real y a y b dos vectores cualesquiera, se verifica: K( a·b ) = (K a ) b Vamos a demostrarlo de forma analítica, que suele ser la más común, pero también se puede realizar de forma geométrica. La propiedad asociativa en forma analítica sería así: Si los vectores a y b tienen como componentes a (a₁, a₂), b (b₁, b₂), entonces: K( a·b ) = K(a₁b₁ + a₂b₂) = Ka₁b₁ + Ka₂b₂ = K(a₁)b₁ + (Ka₂)b₂ = (K a )· b Distributiva respecto de la suma de vectores Esta propiedad afirma que:

 Sean a y b dos vectores libres del plano, se llama producto escalar de a y b , y se designa como a · b al número real que resulta multiplicar sus módulos por el coseno del ángulo que forma el vector a y el vector b si ambos son no nulos, o igual a cero si al menos uno de ellos es el vector nulo o son perpendiculares a·b = |a||b|cos( a·b ), si a ≠ 0, b ≠ 0 a·b = 0, si a = 0 o b = 0 , o si son perpendiculares Si tenemos una base { u₁, u₂ } del plano vectorial. Los vectores a y b tendrán de coordenadas (a₁, a₂) y (b₁, b₂), es decir: a = a₁ u₁ + a₂ u₂ b = b₁ u₁ + b₂ u₂ El producto escalar de ambos conduce a: a·b = (a₁ u₁ + a₂ u₂ )·(b₁ u₁ + b₂ u₂ ) = (a₁ u₁ )·(b₁ u₁ ) + (b₁ u₁ )(a₂ u₂ ) + (a₂ u₂ )(b₂ u₂ ) + (a₁ u₁ )(b₂ u₂ ) = (a₁b₁)( u₁u₁ ) + (a₁b₂ + a₂b₁)( u₁u₂ ) + (a₂b₂)( u₂u₂ ) En el caso de los ejes y los vectores unitarios (de norma igual a 1) i , j tal que: ii = jj = 1 ij = 0 con lo que resulta:

 Algunos ejercicios para poner en práctica lo aprendido en este tema de espacios vectoriales. Ejercicio 1 Dado el conjunto V formado por ternas (x, y, z) tal que x, y, z ∈ Q³ y además 2x + y - z = 0, tenemos que demostrar que V es espacio vectorial sobre Q. Solución Para comprobar que V es un espacio vectorial sobre Q, podemos aplicar la condición necesaria y suficiente el teorema que reduce a una condición la caracterización de espacios vectoriales. Por lo tanto, debe verificarse que: 𝛼(x, y, z) + 𝛽(x', y', z') ∈ V siendo 𝛼, ꞵ ∈ R Tenemos: 𝛼(x, y, z) + 𝛽(x', y', z') = (𝛼x, 𝛼y, 𝛼z) + (𝛽x', 𝛽y', 𝛽z') = (𝛼x + 𝛽x', 𝛼y + 𝛽y', 𝛼z + 𝛽z') Hemos obtenido un nuevo elemento de tres términos que hemos de demostrar que pertenece a V, para lo cual se debe de verificar: 2x + y -z = 0; 2(𝛼x + 𝛽x') + (𝛼y + 𝛽y') - (𝛼z + 𝛽z') = 0 Quitamos paréntesis: 2𝛼x + 2𝛽x' + 𝛼y + 𝛽y

 Un ejercicio para poner en práctica lo explicado en la entrada anterior . Ejercicio Sean las bases : A = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} y B = {(2, 0, 0), (0, 3, 0), (0, 0, 5)} y el vector V = (7, 9, -6) respecto a la base A (que es la base canónica del espacio vectorial tridimensional). Tenemos que calcular las coordenadas de V respecto a la base B. Solución Ahora trabajamos en un espacio vectorial con bases de dimensión 3, con lo cual las ecuaciones del cambio de base aparecerán muy simplificadas. El vector V respecto a la base A vendrá expresado como: V = 7(1, 0, 0) + 9(0, 1, 0) + (-6)(0, 0, 1) y por otra parte, respecto a B: V = x(2, 0, 0) + y(0, 3, 0) + z(0, 0, 5) Si igualamos ambas expresiones: 7(1, 0, 0) + 9(0, 1, 0) + (-6)(0, 0, 1) = x(2, 0, 0) + y(0, 3, 0) + z(0, 0, 5) Comparando términos: 7·1 + 9·0 + (-6)·0 = 2x + 0·y + 0·z => 7 = 2x => x = 7/2 7·0 + 9·1 + (-6)·0 = x·0 + 3y + 0·z => 9 = 3y => y = 3 7·0 + 9·0 + (-6)·1 = x·0 + y·0 + 5z => -6 = 5z => z =

 Sea A = { a₁, a₂, ..., aₙ } y B = { b₁, b₂, ..., bₙ } dos bases del espacio vectorial (Vₙ, +, ·, R) sobre R, considerando un  vector V del espacio vectorial debemos encontrar una relación de las coordenadas de V respecto a las bases A y B. Necesitamos conocer las coordenadas de los vectores de una base respecto de la otra, supongamos, por ejemplo, conocidas las coordenadas de los vectores de A respecto de B: a₁ = a₁₁ b₁ + a₁₂ b₂ + ... + a₁ₙ bₙ ............................................... aₙ = aₙ₁ b₁ + aₙ₂ b₂ + ... + aₙₙ bₙ y el vector V quedaría expresado respecto a la base B como: V = x₁' b ₁ + x'₂ b₂ ﱣٰ' + ... + x'ₙ bₙ y respecto a la base A: V = x₁ a₁ + x₂ a₂ + ... + xₙ aₙ Por lo tanto, el vector V podría ser expresado como: V = x₁(a₁₁ b₁ + a₁₂ b₂ + ... + a₁ₙ bₙ ) + ... + xₙ(aₙ₁ b₁ + aₙ₂ b₂ + ... + aₙₙ bₙ ) (1) donde hemos sustituido a₁, a₂, ..., aₙ , por las expresiones que les corresponden en función de sus coordenadas respecto a la base B: V = x&

 En este teorema se relacionan dos conjuntos de vectores, siendo uno de ellos un sistema generador y otro un sistema libre de vectores, y teniendo ambas dimensiones diferentes, se enuncia como sigue: Sea (V, +, ·, R) un espacio vectorial A = a₁, ..., aₘ un sistema generador de V y B = { b₁, ..., bₚ } un sistema de vectores libre, entonces p ≤ m y pueden sustituirse los vectores de A por vectores de B resultando un sistema generador. Demostración Como A es un sistema generador de V, los vectores de B serán combinación lineal de los de A y podremos escribir un nuevo sistema generador: C = { b₁, a₂, ..., aₘ } de cuya combinación lineal de vectores podemos obtener b₂ , teniendo en cuenta que b₁ y b₂ son linealmente independientes (tal y como se ha enunciado) y que por tanto: b₂ = λ₁ b₁ + λ₂ a₂ + ...  + λₘ aₘ donde algún λ sea distinto de cero. Podríamos continuar el proceso de obtención de conjuntos de vectores como el C hasta que nos planteáramos dos casos: p>m supondría que el c

 Un ejercicio sobre lo explicado sobre bases en entradas anteriores . Ejercicio Demuestra que los vectores de V 0,5 del conjunto: A = {(0, 0, 0, 0, 1), (0, 0, 0, 1, 0), (0, 0, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0)} forman una base en V 0,5 e indica las dimensiones de esta base. Solución Sabemos que las condiciones para que un conjunto de vectores sea una base son: Que el conjunto de vectores dado sea un sistema de generadores de V 0,5 . Si tenemos un vector (x₁, x₂ , x₃, x₄, x₅) del espacio V 0,5 y puede expresarse como combinación lineal de los vectores de A, entonces A será un sistema generador. En este ejemplo tenemos: (x₁, x₂, x₃, x₄, x₅) = x₅(0, 0, 0, 0, 1) + x₄(0, 0, 0, 1, 0) + x₃(0, 0, 1, 0, 0) + x₂(0, 1, 0, 0, 0) + x₁(1, 0, 0, 0, 0) Además, estos vectores deben ser linealmente independientes, es decir: 𝛼₁(0, 0, 0, 0, 1) + 𝛼₂(0, 0, 0, 1, 0) + 𝛼₃(0, 0, 1, 0, 0) + 𝛼₄(0, 1, 0, 0, 0) + 𝛼₅(1,

 Se define como base de un espacio vectorial (V, +, ·, R) sobre R a un subconjunto de vectores A, tal que: A es un sistema de generadores de V El sistema de vectores de A son linealmente independientes. Se llama dimensión de un espacio vectorial (V, +, ·, R) sobre R al número de vectores que forman una cualquiera de sus bases. Cuando existe un sistema finito de generadores para V se dice que el espacio vectorial (V, +, ·, R) es de dimensión finita. Teoremas sobre bases Cualquier espacio vectorial (V, +, ·, R) sobre R, de dimensión finita y que se reduce a 0 , tiene al menos, una base. Demostración Tenemos un sistema A = { a₁, a₂, ... , aₙ } que es sistema generador de V, si tomamos un conjunto de estos valores a modo que: Ninguno sea 0. Ninguno sea combinación lineal de los demás. Tendremos un A' que será un sistema libre de generadores, pues cualquier vector de V depende de A, y cualquier vector de A

 Se llama subespacio vectorial de V sobre R a todo subconjunto W ⊂ V respecto de la suma y producto definidos en V sea (W, +, ·, R) un espacio vectorial. Cualquier espacio vectorial (V, +, ·, R) posee, al menos, dos subespacios vectoriales llamados triviales o impropios, y que son el propio espacio vectorial y el formado por el elemento neutro de la ley de composición interna (0, +, ·, R). Cualquier otro subespacio vectorial de V distintos de los anteriores recibe el nombre de subespacio propio. Para caracterizar a un subconjunto W (no vacío) del espacio vectorial como un subespacio V debe verificar las propiedades del espacio vectorial. Teoremas sobre subespacios vectoriales La condición necesaria y suficiente para que un subconjunto W del espacio V sobre R sea un subespacio vectorial es que para cualquier 0X, 0Y ∈ W y 𝛼 ∈ R debe verificarse que: 0X + 0Y ∈W 𝛼· 0X ∈ W Demostración Es condición necesaria, evidentemente, ya que po

 Se dice que los vectores del subconjunto A = { a₁, a₂, ..., aₙ } de un espacio vectorial V sobre R forman un sistema libre o son linealmente independientes si de la relación 𝛼₁ a₁ + 𝛼₂ a₂ + ... + 𝛼ₙ aₙ = 0 se deduce que todos los 𝛼 son nulos 𝛼₁＝𝛼₂＝...=𝛼ₙ = 0, el vector nulo 0 se expresa de forma única en función en función de los vectores que componen el sistema A. Cuando esta relación también sea cierta para valores no todos nulos de los escalares 𝛼, se dice que el sistema A es ligado o que los vectores que lo forman son linealmente dependientes. En este caso, lo que significa es que el vector no nulo 0 se expresa de forma única, como combinación lineal de los vectores del sistema. Ejemplo Sean los vectores a₁=(3, -5, 0) y a₂ = (1, -1, 2). Tenemos que comprobar si son linealmente independientes o dependientes. Solución Sabemos que la condición requerida para la dependencia o independencia lineal de un sistema de vectores es: 𝛼₁ a₁ + 𝛼₂ a₂ = 0 sustituyendo a₁, a₂ y 0

 Si V es un espacio vectorial real se verifican las siguientes propiedades: El elemento 0 es el neutro para la suma de vectores Tenemos que 𝛼· 0 = 0 Los elementos (-𝛼)· 0X y (𝛼)· 0X son opuestos (su suma es el vector 0) (-1)· 0X = - 0X La ley externa no posee divisores de cero. Todo elemento distinto de los neutros de R y V para la ley de composición interna son regulares para la ley externa, verificando que 𝛼· 0X = 𝛼· 0Y => 0X = 0Y , ∀𝛼≠0, y también verificando que 𝛼· 0X = 𝛽· 0X => 𝛼 = β. Combinación lineal de vectores Sea A { a₁, a₂, a₃,...,aₙ } un subconjunto finito de elementos de (V, +, R) al que llamamos sistema de vectores. Se dice entonces que un vector V ∈V es una combinación lineal del sistema formado por los n vectores del subconjunto A si existen n escalares 𝛼₁, 𝛼₂,..., 𝛼ₙ de R tales que 𝛼₁ a₁ + 𝛼₂ a₂ + ... + 𝛼ₙ aₙ = V donde 𝛼₁, 𝛼₂, ..., 𝛼ₙ se de