Ecuaciones de la recta (II)

 Esta entrada es continuación de la anterior.

Ecuación normal de la recta

Si tenemos la ecuación general de recta, podemos pasar a la ecuación normal dividiendo ésta por la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los coeficientes  x e y.

Si la ecuación general es:

Ax + By + C = 0

La ecuación normal será:

(Ax + By + C)/[√(A²+B²)] = 0

A los coeficientes de la ecuación normal:

A/√(A²+B²) = cos 𝛼 y B/√(A²+B²) = sen 𝛼

se les llama cosenos directores y d = |C/√(A²+B²)| es la distancia de la recta al origen de coordenadas.

Por lo tanto, la ecuación es x·cos 𝛼 + y·sen 𝛼 = d.

Si la ecuación está en forma canónica:

x/a + y/b = 1

entonces:

  • a = d/(cos 𝛼)
  • b = d/(sen 𝛼)

luego:

(x·cos 𝛼)/d + (y·sen 𝛼)/d = 1

los cosenos directores serán:

x·cos 𝛼 + y·sen 𝛼 = d

cos 𝛼 = d/a, sen 𝛼 = d/b

Ejemplo

Dada la ecuación de la recta 3x + 4y - 5 = 0, tenemos que hallar la ecuación normal.

Solución

  • (3x + 4y -5)/(√(9+16)) = 0
  • (3/5)x + (4/5)y - 1 = 0

Condición para que tres puntos estén en línea recta

Sean los puntos P₀(x₀, y₀), P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂). La condición para que los tres puntos estén en una línea recta es que el siguiente determinante sea igual a 0,

Determinante para verificar si tres puntos están en línea recta
ya que el punto P₂(x₂, y₂) debe satisfacer la ecuación de la recta que pasa por P₀ y P₁.

Ejemplos
  • Vamos a calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos (1, 2), (-2, -1):

Ejemplo de cálculo de ecuación de recta con determinante
tenemos:

x - y + 1 = 0

  • Calcular si los puntos (-1, 2), (2, -3), (-4, 7), están alineados o forman un triángulo.

luego están alineados (el determinante vale 0).









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