Cambio de bases ortonormales

 Si tenemos dos bases ortonormales, se verifica:

  1. |u₁| = |u₂| = |v₁| = |v₂| = 1
  2. u₁ es perpendicular a u₂
  3. v₁ es perpendicular a v₂

Resulta que:

  • u₁u₁ = u₂u₂ = v₁v₁ = v₂v₂
  • u₁u₂ = 0
  • v₁v₂ = 0

Siendo (h, k) (l, m) los coordenados de v₁, v₂ respecto de {u₁, u₂} tenemos:

  • v₁ = hu₁ + ku₂
  • v₂ = lu₁ + mu₂

Multiplicando cada igualdad escalarmente por u₁, u₂, tenemos:

  • u₁v₁ = hu₁u₁ + ku₂u₁ = h
  • u₂v₁ = hu₁u₂ + ku₂u₂ = k
  • u₁v₂ = lu₁u₁ + mu₂u₁ = l
  • u₂v₂ = lu₁u₂ + mu₂u₂ = m

Ahora, si llamamos 𝛼 al ángulo que forman u₁ y v₁, también será 𝛼 el ángulo de u₂ y v₂, y el ángulo que forman u₁ y v₂ será 𝜋/2 + 𝛼 y el ángulo de v₁, u₂ será 𝜋/2 - 𝛼.

Tenemos entonces:

  • h = u₁v₁ = |u₁||v₁|cos(u₁v₁) = 1·1·cos 𝛼
  • k = u₂v₁ = |u₂||v₁|cos(u₂v₁) = 1·1·cos (𝜋/2 - 𝛼) = + sen 𝛼
  • l = u₁v₂ = |u₁||v₂|cos(u₁v₂) = 1·1·cos (𝜋/2+ 𝛼) = - sen 𝛼
  • m = u₂v₂ = |u₂||v₂|cos(u₂v₂) = 1·1·cos 𝛼

quedan así las ecuaciones del cambio de base:

  • v₁ = u₁·cos 𝛼 + u₂·sen 𝛼
  • v₂ = u₁·sen 𝛼 + u₂·cos 𝛼

NOTA: Para su interpretación geométrica, dibujamos representantes de los vectores de ambas con origen en un punto 0. Por ejemplo:

Bases ortonormales ejemplo geométrico


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