Paralelismo y perpendicularidad

 Si dos rectas son paralelas, sus pendientes son iguales:

m₁ = m₂

Si dos rectas son perpendiculares, sus pendientes son recíprocas y de signo contrario.

m₂ = -1/m₁

Recta paralela a una dada por un punto

Si tenemos la recta de la ecuación:

r: Ax + By +C = 0

y el punto A de coordenadas (x₁, y₁) y nos piden hallar la paralela a la recta en ese punto, tendremos que tener en cuenta que la recta pedida tiene igual pendiente que la recta dada, o sea:

m = -A/B = m'

Como además tiene que pasar por el punto A(x₁, y₁), su ecuación será:

y - y₁ = -(A/B)·(x - x₁)

o bien:

A(x - x₁) + B(y - y₁) = 0

También se puede desarrollar vectorialmente (vectores i, j), y hallar sus respectivas ecuaciones paramétricas.

Recta perpendicular a una dada por un punto

Si tenemos la recta Ax + By + C = 0, y el punto A(x₁, y₁), la pendiente de la recta pedida será:

m' = -1/m = -[1/(-A/B)] = B/A

y la recta que buscamos será:

(y - y₁) = (B/A)(x - x₁)

o bien:

(x - x₁)B - (y - y₁)A = 0

También se puede hallar vectorialmente, junto con sus respectivas ecuaciones paramétricas.

Ejemplo

Si tenemos la recta 3x + 5y + 14 = 0 y el punto P(2, 1), tenemos que hallar las ecuaciones de la recta paralela y perpendicular dada en ese punto.

Solución

Para hallar la recta paralela, hallamos la pendiente de la recta

m = -(3/5) = m'

la ecuación de la recta paralela sería:

(y -1) = -(3/5)(x - 2) = 0

que es lo mismo que:

3(x -2) + 5(y - 1) = 0 => 3x + 5y -11 = 0

Para hallar la recta perpendicular, sabiendo la pendiente de la recta dada:

m'' = -(1/m) = 5/3

la ecuación de la recta perpendicular será:

(y -1) = (5/3)·(x - 2)

que es lo mismo que:

5(x - 2) -3(y - 1) = 0 => 5x - 3y - 7 = 0