Propiedades del producto escalar

 Conmutativa

La propiedad conmutativa nos dice que:

  • a·b = b·a
  • a·b = |a||b|cos(a, b) => b·a = |b||a|cos(b, a)

Para que esto se cumpla tiene que ser:

cos(a, b) = cos(b, a)

Esto es cierto, ya que según vemos en la figura:

Demostración de la propiedad conmutativa del producto escalar de forma gráfica

  • cos 𝛼 = cos (-𝛼)
  • AF = cos 𝛼 = cos (-𝛼)

Propiedad asociativa entre elementos de V y de elementos de R

Sea K un número real y a y b dos vectores cualesquiera, se verifica:

K(a·b) = (Ka)b

Vamos a demostrarlo de forma analítica, que suele ser la más común, pero también se puede realizar de forma geométrica.

La propiedad asociativa en forma analítica sería así:

Si los vectores a y b tienen como componentes a(a₁, a₂), b(b₁, b₂), entonces:

K(a·b) = K(a₁b₁ + a₂b₂) = Ka₁b₁ + Ka₂b₂ = K(a₁)b₁ + (Ka₂)b₂ = (Ka)·b

Distributiva respecto de la suma de vectores

Esta propiedad afirma que:

a(b + c) = a·b + a·c

La demostración se hará de forma analítica, que suele ser la más común.

La propiedad distributiva en forma analítica será:

Si a los vectores a, b y c los expresamos mediante sus componentes, tenemos a(a₁, a₂), b(b₁, b₂), c(c₁, c₂), por lo que sería:

a·(b + c) = (a₁, a₂)·[(b₁, b₂) + (c₁, c₂)] = (a₁, a₂)·[(b₁ + c₁, b₂ + c₂)] = a₁(b₁ + c₁) + a₂(b₂ + c₂) = a₁b₁ + a₁c₁ + a₂b₂ + a₂c₂ = (a₁b₁ + a₂b₂) + (a₁c₁ + a₂c₂) = a·b + a·c


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