Ángulo de dos rectas

 Si tenemos dos rectas, al cortarse, forman cuatro ángulos que son iguales dos a dos por tratarse de ángulos opuestos por el vértice.

Otra propiedad es que sus ángulos son suplementarios dos a dos.

Como norma general, se llama ángulo de dos rectas al menor de los ángulos formados; será un ángulo agudo y como máximo un ángulo recto.

Así pues, el coseno de este ángulo estará comprendido entre 0 y 1, y por lo tanto, siempre será un número positivo.

Según la expresión de las rectas, puede ser:

  1. Forma vectorial.
  2. Forma general.

Forma vectorial

El ángulo que forman las rectas es igual al que forman sus vectores directores:

  • a: x = x₁ + Vt
  • b: x = x₂ + V't

siendo:

  • V = (v₁, v₂)
  • V' = (v'₁, v'₂)

El ángulo que forman sería igual al formado por V y por V':

a, b = V, V' = 𝛼

Por el ángulo de dos vectores se tiene:

cos 𝛼 = V·V'/(V·V') = (v₁v'₁ + v₂v'₂)/[√(v₁² + v₂²)·√(v'₁² + v'₂²)]

Forma general

Las rectas están en la forma:

  • r₁: A₁x + B₁y + C₁ = 0
  • r₂: A₂x + B₂y + C₂ = 0

Las pendientes serán:

  • tg 𝛼₁ = -A₁/B₁ = v₂/v₁
  • tg 𝛼₂ = -A₂/B₂ = v'₂/v'₁

El vector director de r₁ será:

V = (-B₁, A₁)

y el de r₂:

V' = (-B₂, A₂)

Aplicando la fórmula del coseno del ángulo entre dos vectores:

cos 𝛼 = (B₁B₂ + A₁A₂)/[(√(A₁²+B₁²)·√(A₂² + B₂²)]

Asimismo:

𝛼 = 𝛼₂ - 𝛼₁

Por lo que, aplicando las propiedades de la tangente:

tg 𝛼 = tg(𝛼₂ - 𝛼₁) = (tg 𝛼₂ - tg 𝛼₁)/(1 + tg 𝛼₂·tg 𝛼₁)

En función de la inclinación, si ponemos:

  • tg 𝛼₁ = m₁ inclinación o pendiente de la recta r₁.
  • tg 𝛼₂ = m₂ inclinación o pendiente de la recta r₂.

Sustituyendo en la fórmula anterior tenemos:

tg 𝛼 = (m₂ - m₁)/(1 + m₂·m₁)

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