Producto escalar de dos vectores

 Sean a y b dos vectores libres del plano, se llama producto escalar de a y b, y se designa como a·b al número real que resulta multiplicar sus módulos por el coseno del ángulo que forma el vector a y el vector b si ambos son no nulos, o igual a cero si al menos uno de ellos es el vector nulo o son perpendiculares

a·b = |a||b|cos(a·b), si a ≠ 0, b ≠ 0

a·b = 0, si a = 0 o b = 0, o si son perpendiculares

Si tenemos una base {u₁, u₂} del plano vectorial. Los vectores a y b tendrán de coordenadas (a₁, a₂) y (b₁, b₂), es decir:

  • a = a₁u₁ + a₂u₂
  • b = b₁u₁ + b₂u₂

El producto escalar de ambos conduce a:

a·b = (a₁u₁ + a₂u₂)·(b₁u₁ + b₂u₂) = (a₁u₁)·(b₁u₁) + (b₁u₁)(a₂u₂) + (a₂u₂)(b₂u₂) + (a₁u₁)(b₂u₂) = (a₁b₁)(u₁u₁) + (a₁b₂ + a₂b₁)(u₁u₂) + (a₂b₂)(u₂u₂)

En el caso de los ejes y los vectores unitarios (de norma igual a 1) i, j tal que:

  • ii = jj = 1
  • ij = 0

con lo que resulta:

a·b = (aₓi + ayi)(bₓi +byj) 

por lo que:

a·b = aₓbₓ + ayby

Expresión en la que el producto escalar viene en función de las coordenadas de los vectores y que se denomina expresión analítica. Otra forma de definición del producto escalar vendría dada por su significado geométrico, que quiere decir que el producto escalar es igual al módulo de uno de los vectores por la proyección de otro sobre él.

Para proyectar una recta sobre una determinada dirección, se multiplica escalarmente el vector por el unitario de la dirección. Los componentes de un vector son los productos escalares de éste por los vectores de base del sistema:

  • aₓ = a·i
  • ay = a·j

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