Ángulo formado por dos vectores

 Para calcular el ángulo que forman dos vectores libres partimos de la expresión del producto escalar:

a·b = |a||b|cos(a, b)

luego, despejando

cos(a, b) = a·b/|a||b|

Podemos deducirlo también si nos dan los vectores por sus coordenadas:

a = (x₁, y₁) y b = (x₂, y₂)

en una base ortonormal:

a·b = x₁x₂ + y₁y₂

como sabemos:

  • |a| = √(x₁² + y₁²)
  • |b| = √(x₂² + y₂²)

Entonces:

cos(a, b) = (x₁x₂ + y₁y₂)/[√(x₁² + y₁²)·√(x₂² + y₂²)]

Esta expresión nos permite el cálculo del coseno que forman dos vectores en función de sus coordenadas.

Ejemplo

Dados los vectores

  • c = (3, -2)
  • d = (5, 3)

Tenemos que calcular los cosenos de los ángulos que forman estos vectores.

Solución

Sabemos que:

c·d = |c|·|d|·cos(c, d)

entonces:

cos(c, d) = c·d/|c||d|

  • c·d = (3, -2)·(5, 3) = 15 + (-6) = 9
  • |c| = √(3²+(-2)²) = √13
  • |d| = √(5²+3²) = √34
  • cos(c, d) = 9/(√13√34) = 0,428 (aprox.)

El ángulo es por tanto:

arc cos 0,428 = 64º 39' (en la calculadora, cos-1)

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