Supermatemáticas a tu alcance

 Estos ejemplos se realizan para entender mejor lo explicado en la entrada anterior . Ejemplo 1 Vamos a calcular la integral ∫[(x³-3x²+1)/(x²-1)]dx Solución Al ser el grado del numerador 3, mayor que el del denominador, 2, se dividen los polinomios y se obtiene: ∫[(x³-3x²+1)/(x²-1)]dx = ∫(x-3 + (x-2)/(x²-1))dx = ∫(x-3)dx + ∫[(x-2)/(x²-1)]dx Por lo que: x²/2 - 3x + ∫[(x-2)/(x²-1)]dx Las raíces de x²-1 son x²-1=0⇒x±1. Tiene, por tanto, dos raíces distintas. Se descompone (x-2)/(x²-1) en fracciones simples: (x-2)/(x²-1) = A/(x+1) + B/(x-1) = [A(x+1) + B(x-1)]/(x²-1) Puesto que los denominadores son iguales, los numeradores también han de serlo: x - 2 = A(x+1) + B(x-1) Para determinar A y B, se dan valores a x. si x = 1, 1-2 = A(1+1) + B(1-1), -1 = 2A, A = -1/2 si x = -1, -1-2 = A(-1+1) + B(-1-1) = -3 = -2B, B = 3/2 Debes notar que aunque a x se le pueden dar valores arbitrarios, en este

 Se llama función racional a una función en la que sólo se efectúan con la x las cuatro operaciones racionales y que es el cociente entre dos funciones que son polinomios: R(x) = P(x)/Q(x) Toda integral ∫(P(x)/Q(x))dx es expresable mediante funciones elementales conocidas. Caso 1 Si el grado de P(x) ≥  grado de Q(x), se dividen ambos polinomios: ∫(P(x)/Q(x))dx = ∫[A(x) + R(x)/Q(x)]dx = ∫A(x)dx + ∫(R(x)/Q(x))dx siendo A(x) el cociente obtenido en la división y R(x) el resto. La primera integral ∫A(x)dx se resuelve como la integral de un polinomio por descomposición en sumas, para la segunda aplicamos el caso siguiente. Caso 2 Si el grado de P(x) < Q(x), se trata de una fracción propia y se demuestra que puede expresarse en general como suma de fracciones simples que se obtienen por descomposición factorial del polinomio del denominador. Sea ∫(P(x)/Q(x))dx descomponemos Q(x) en factores por divisiones sucesivas: Q(x) = (x - a₁)·Q₁(x) Q(x) = (x - a₁)(x - a₂)·Q₂(x) .....................

 A veces, el cálculo de la integral se puede hacer más fácilmente asociándole otra integral: I = ∫f(x)dx, J = ∫g(x)dx de tal manera que I+J = ∫[f(x)+g(x)]dx = ∫h(x)dx I-J = ∫[f(x) - g(x)]dx = ∫u(x)dx sean fáciles de resolver y de ahí deducir inmediatamente I, J. Ejemplo I = ∫e 2x ·cos² x dx se le asocia la integral: J = ∫e 2x sen² xdx Por lo tanto: I+J = ∫e 2x dx = (1/2)e 2x   I-J = ∫e 2x cos 2x dx = (1/4)e 2x (cos 2x + sen 2x) (se resuelve integrando por partes) y por tanto: I = (1/2)[(1/2)e 2x + (1/4)·(cos 2x + sen 2x)] = (1/4)[e 2x + (e 2x /2)·(cos 2x + sen 2x)] + C

 Sea una integral del tipo: ∫P(x)·e 𝛼x dx podemos calcularla por dos métodos: Derivando e identificando: ∫P(x)e 𝛼x dx = Q(x)e𝛼x Método de integración por partes reiterado. Suponemos e 𝛼x dx = dv → v = (1/𝛼)e 𝛼x P(x) = u → du = P'(x)dx Aplicando el método de integración por partes tendremos: ∫P(x)e 𝛼x dx = P(x)(1/x)e 𝛼x - (1/x)∫P'(x)e 𝛼x dx donde ∫P(x)e 𝛼x dx tiene la misma forma que la integral de la que partimos, con la diferencia de que aquí el polinomio P'(x) es el derivado de P(x). Si continuamos aplicando de forma reiterada la integración por partes resulta: ∫P(x)e 𝛼x dx = e 𝛼x [P(x)/𝛼 - P'(x)/𝛼²+P''(x)/𝛼³+...+(-1)ⁿ(Pⁿ/𝛼 n+1 )]+C El mismo método se aplica a: ∫P(x)·cos ax dx y P(x)·sen ax dx Ejemplo Calcular  ∫x²·e x dx Solución La identificación en este caso puede ser u = x², y dv = e x dx. De u = x², se deduce diferenciando que du = 2xdx. D

 Si queremos calcular ∫udx vamos a resolverla aplicando la definición de diferencial de un producto de funciones. Sean u y v dos funciones de x: d(u·v) = u·dv + v·du despejando: u·dv = d(u·v) - v·du Integrando ambos miembros: ∫u·dv = ∫d(u·v) - ∫v·du como los signos ∫ y d se anulan, nos queda: ∫u·dv = u·v - ∫v·du reduciendo el cálculo de una integral al de la otra, lo que tiene ventaja cuando el cálculo de ésta es más sencillo. Ejemplo Vamos a hallar ∫x·sen x dx Solución Hacemos el cambio: x = u sen x dx = dv Por lo que: du = dx v = -cos x Aplicando la fórmula general de la integración por partes: ∫u·dv = u·v - ∫v·du Tenemos: ∫x·sen x dx = -x·cos x - ∫(-cos x)·dx = -x·cos x -(-sen x) = -x·cos x + sen x + C Hay que tener en cuenta al elegir la primera integración el factor que se toma como u y el que se toma como dv. Se debe ver si se simplifica la integral o por el contrario se complica, en cuyo caso se debe cambiar o elegi

 Si tenemos la integral ∫f(x)dx y no conocemos fácilmente su primitiva, podemos sustituir la variable x por otra relacionada con ella, sustituyendo a su vez dx. Así: x = h(t) dx = h'(t)dt ∫f(x)dx = ∫f[h(t)]·h'(t)dt = 𝜑(t) Nos quedará una integral. Si esta función es fácilmente integrable en t, no tenemos más que sustituir en t por h -1 (x), deshaciendo el cambio y nos queda resuelta la integral. Ejemplo Tenemos que hallar: ∫(x/(x²+1)²)dx Hacemos el cambio: x²+1 = t 2xdx = dt x·dx = dt/2 Nos queda: ∫(x/(x²+1)²)dx = ∫(dt/2)/t² = ∫(1/2t²)·dt = (1/2)∫t -2 dt = (1/2)[t -2+1 /(-2+1)] =  = 1/2(t -1 /-1) = -1/2t = -1/2(x²+1) + C

 ∫dx = x + C ∫xⁿdx = x n+1 /n+1 + C ∫dx/x = Ln x + C ∫dx/(x+a) = Ln (x+a) + C ∫dx/2√x = √x + C ∫a x dx = a x /Ln a + C ∫e x dx = e x + C ∫sen x dx = -cos x + C ∫cos x dx = sen x + C ∫tg x dx = -Ln (cos x) + C ∫ctg x dx = Ln (sen x) + C ∫sec x dx = Ln (sec x + tg x) + C ∫cosec x dx = Ln (cosec x + tg x) + C ∫sec² x dx = tg x + C ∫cosec² x dx = -ctg x + C ∫sec x · tg x = sec x + C ∫cosec x· ctg x dx = -cosec x + C ∫dx/(cos² x) = tg x + C ∫dx/(sen² x) = -ctg x + C ∫dx/√(1-x²) = arc sen x + C ∫dx/√(a² - x²) = arc sen (x/a) + C ∫dx/(1+x²) = arc tg x + C ∫dx/(a²+x²) = (1/a)arc tg (x/a) + C ∫dx/√(x²-1) = arc ch x + C ∫dx/√(x²+1) = arc sh x + C ∫dx/(1-x²) = arc th x + C Si las integrales que tratamos de resolver no están entre las integrales inmediatas, las resolveremos con los métodos que serán explicados en las siguientes entradas.

 Integral de la suma La integral la suma de diferenciales es igual a la suma de las integrales de las diferenciales.  ∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx + ∫g(x)dx diferenciando: d∫[f(x)+g(x)]dx = d∫f(x)dx + d∫g(x)dx de donde: [f(x) + g(x)]dx = f(x)dx + g(x)dx Integral del producto de una constante por una función La integral del producto de una constante por una diferencial es igual al producto de la constante por la integral de la diferencial. ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx diferenciando: d∫kf(x)dx = kd∫f(x)dx obtenemos kf(x)dx Por tanto, las constantes se pueden sacar fuera de la integral .

 Hemos visto en las entradas anteriores que si f(x) es una función conocida, podemos hallar mediante el cálculo diferencial su función derivada f'(x) y su diferencial f'(x)dx. A continuación, vamos a estudiar el proceso inverso al de hallar la función derivada. Este proceso es hallar la función primitiva. Pero así como la derivada de una función es única, al hallar la integral indefinida de una función podemos obtener infinitas funciones que son las llamadas funciones primitivas, y que difieren en una constante ( Teorema fundamental del cálculo integral ). El objeto del cálculo integral es determinar las funciones primitivas de cualquier función f(x) Función primitiva e integral indefinida Si F(x) es una función cuya derivada F'(x) es igual f(x) en un intervalo (a, b), podemos afirmar que F(x) es una función primitiva de f(x). La función x³ es la función derivada de x⁴/4, y a su vez, x⁴/4 es la primitiva de x³. Como las primitivas de una función se diferencian en una const

 Si tenemos la parábola y²=2px y el punto exterior P(x₁, y₁). La ecuación de la tangente a la parábola desde P(x₁,y₁) tendrá la forma: y-y₁=m(x-x₁) Resolviendo el sistema formado por y²=2px y-y₁=m(x-x₁) Nos dará una ecuación de segundo grado, cuyo discriminante tiene que ser 0 para que exista una solución única, con lo que podremos hallar m y por lo tanto la ecuación de la tangente. Por si acaso, os recuerdo como son las funciones que hemos tratado: Parábola: Elipse: Hipérbola:

 Si tenemos la parábola de ecuación y²=2px y un punto de ella, P(x₁, y₁). Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente será: y-y₁ = yₚ'(x-x₁) La ecuación de la normal será: y - y₁= (-1/yₚ')(x-x₁) Si aplicamos derivadas a la ecuación general de la parábola: 2yy' = 2p y' = p/y Para el punto P(x₁, y₁), entonces: yₚ' = p/y₁ Con lo que la ecuación de la tangente quedaría: y-y₁=(p/y₁)(x-x₁) Operando y despejando, tenemos: yy₁ = p(x+x₁) La ecuación de la normal sería: y-y₁=(-y₁/p)(x-x₁)

 Si tenemos la hipérbola de ecuación: x²/a² - y²/b² = 1 y un punto P(x₁, y₁) exterior a ella, al pasar la tangente por ese punto, tiene que tener la ecuación: y-y₁=m(x-x₁) Resolviendo el sistema formado por: x²/a² - y²/b²=1 y-y₁=m(x-x₁) tenemos que la solución sería una ecuación de segundo grado que para que tuviera una solución única tendría que cumplir que el discriminante fuera igual a 0 y de esta igualdad podremos hallar m, y por consiguiente, la ecuación de la tangente.

 Dada la hipérbola de ecuación x²/a² - y²/b² = 1 y consideramos un punto P(x₁, y₁) de ella. La ecuación de la tangente a la hipérbola en ese punto vendrá dada por: y-y₁=yₚ'(x-x₁) y la ecuación de la normal: y-y₁ = (-1/yₚ')(x-x₁) Para hallarlas partimos de la ecuación general: x²/a² - y²/b² = 1 Derivando: 2x/a² -2yy'/b² = 0 Despejamos y': y' = b²x/ya² Por lo tanto, en el punto P(x₁, y₁): yₚ' = b²x₁/a²y₁ Luego, la tangente será: y-y₁ = (b²x₁/a²y₁)(x-x₁) Operando, despejando y dividiendo por a²b²: x₁x/a² - y₁y/b² = 1 La ecuación de la normal será: y-y₁=(-a²y₁/b²x₁)(x-x₁)

 Sea la elipse x²/a² + y²/b² = 1 y un punto exterior a la misma, P(x₁, y₁). Para que exista tangencialidad, el discriminante tiene que ser cero y nos resulta: x²/a² + y²/b² = 1 y - y₁ = m(x-x₁)

 Sea la elipse x²/a² + y²/b² = 1 y un punto de ella, p(x₁, y₁). Sabemos que la ecuación de la tangente es: y-y₁=yₚ'(x-x₁) También sabemos que la ecuación de la normal es: y-y₁=-(1/yₚ')(x-x₁) Derivando x²/a² + y²/b²=1, tendremos 2x/a² + 2yy'/b²=0. Por tanto: y' = -(b²x/a²y) En P(x₁, y₁) será: y' = -(b²x₁/a²y₁) Sustituyendo, en la ecuación de la recta tangente, tenemos: y-y₁= -(b²x₁/a²y₁)(x-x₁) Operando la ecuación anterior, y dividiendo por a²b² tenemos que: x₁x/a² + y₁y/b² = 1 La ecuación de la normal de la elipse será de la forma: y-y₁ = (a²y₁/b²y₁)(x-x₁)

 Sea la ecuación de la circunferencia: x²+y²+mx+ny+p = 0 y un punto Pₒ(xₒ, yₒ) exterior a ella, desde este punto podemos trazar a la circunferencia infinitas rectas cuya ecuación sería: y-yₒ = ƛ(x-xₒ) unas serán exteriores, otras secantes y otras tangentes. Solamente nos interesan estas últimas que verifican la ecuación: x²+y²+mx+ny+p=0 (1) Sabemos que: y = yₒ+ƛ(x-xₒ) Sustituyendo el valor de y en (1): x²+[yₒ+ƛ(x-xₒ)]²+mx + n[yₒ+ƛ(x-xₒ)]+p = 0 Resolviendo la ecuación, nos encontraremos con discriminantes negativo (sin  solución real), la recta no corta a la circunferencia; discriminante positivo, la recta corta a la circunferencia en dos puntos, recta secante; discriminante igual a 0, la recta corta a la circunferencia en un solo punto, recta tangente. Ejemplo Dada la circunferencia: x²+y²+5x+3y-8=0 y el punto exterior P = (3,0), las tangentes a la circunferencia desde dicho punto. Solución Desde P, el haz de rectas será: y-0 = ƛ(x-3)  Sustituyendo en la ecuación de la circunferencia,

 Vimos que la ecuación de la recta era Ax + By + C = 0, la ecuación reducida de una circunferencia x²+y²=r² y la ecuación general de la circunferencia x²+y² + mx + my +p = 0, existe un punto P que satisface las dos ecuaciones, y así, de esta manera, nos aparecía una ecuación de segundo grado que sería ax² + bx + c = 0, y así podremos tener varias soluciones. Si b²-4ac>0 la ecuación tiene dos soluciones, la recta tiene dos puntos de contacto y por lo tanto es secante a la circunferencia. Si b²-4ac=0 , la ecuación tiene una solución, la recta tiene un punto de contacto y por lo tanto es tangente a la circunferencia. Si b²-4ac<0 , la ecuación no tiene solución real, la recta no tiene puntos de contacto con la circunferencia, dicha recta es exterior a la circunferencia. Teniendo la ecuación de forma reducida x²+y²=r² y la ecuación de la tangente en P₀(xₒ, yₒ), entonces xₒ² + yₒ²= r². Si P es un punto perteneciente a la circunferencia, se tiene que verificar la ecuación xₒ²+yₒ² = r² 

 Vamos a representar gráficamente la función: y = x³-x²-6x Solución La función está definida para todos los valores de x. Corte a los ejes Corte a 0Y: x=0, y = 0 Corte a 0X: y = 0, por lo que x³-x²-6x = 0, que es lo mismo que x(x²-x-6) = 0, resolviendo esta ecuación tenemos las siguientes soluciones: x = 0, y = 0 x=3, y = 0 x=-2, y = 0 Crecimiento y decrecimiento y' = 3x²-2x-6 Igualando a 0: 3x²-2x-6 = 0 Se trata de una ecuación de segundo grado. Si la resolvemos, obtenemos las siguientes soluciones: x₁ = (1 + √19)/3, x₂ = (1 - √19)/3 Por lo tanto, la función será creciente si x < (1-√19)/3 y decreciente si (1-√19)/3<x<(1+√19)/3. Máximos y mínimos Calculamos la segunda derivada, que es y'' = 6x - 2. Para x = (1-√19)/3, y'' = 6·(1-√19)/3 - 2 = -2√19 <0, máximo. Para x = (1+√19)/3, y'' = 6·(1+√19)/3 -

 Para estudiar la representación gráfica de una función y = f(x), vamos a resumir los pasos a seguir explicados en las tres entradas anteriores (puedes leerlas clicando aquí , aquí y aquí ). Intervalos o puntos en los que la función está definida. Cortes con los ejes (corte con el eje 0X se hace y = 0 y calculamos los valores de x; cortes con el eje 0Y se hace x = 0 y calculamos los valores de y). Cálculo de la primera derivada (y' = f'(x)). Calculamos los valores de x para f'(x) = 0; calculamos los valores de x para f'(x) > 0 (crecimiento); calculamos los valores de x para f'(x) < 0 (decrecimiento). Cálculo de la segunda derivada (y'' = f''(x)). Calculamos los valores de x para f''(x) > 0; calculamos los valores de x para f''(x) < 0. Calculamos los valores de f''(x) de la primera derivada, teniendo en cuenta que si f''(x) > 0 es un mínimo y si f''(x) < 0 es un máximo y si f''(x) = 0,

 Asíntotas de una curva Si en la función f(x) tenemos que el valor del límite cuando x tiende al valor a es igual a ∞, entonces la curva contiene al punto (a, ∞), si el el valor del límite cuando x tiende a ∞ de f(x) = b, entonces la curva contiene al punto (∞, b). También puede ocurrir que el valor del límite de f(x) cuando x tiende a ∞ es igual a ∞, entonces la curva contiene al punto (∞,∞). En este caso, son ramas infinitas de la curva. Al no tener puntos determinados, la única determinación que tenemos es la dirección de la recta, llamándoles ramas asintóticas. Las asíntotas de una curva las determinan las rectas tangentes a la curva en los puntos del infinito. Las asíntotas pueden ser verticales, horizontales u oblicuas. Las asíntotas verticales de una curva la determinan los valores finitos de x, haciendo a su función f(x) = ∞. Las asíntotas horizontales de una curva  se dan cuando el valor del límite de la función f(x) cuando x tiende a ∞ es igual a b y la curva de la función

 Intervalos de crecimiento Si la derivada de una función es mayor que 0, dicha función es creciente en x₀, y si la derivada es menor que 0, la función es decreciente en x₀. Entonces obtenemos los intervalos en que ∀ la derivada es >0 o <0. Ejemplo y = x²+6x-3 y' = 2x + 6 Si 2x + 6 >0, x>-3 Si 2x+6<0, x<-3 O sea, que ya tenemos los intervalos: -∞<x<-3, la función es decreciente. -3<x<∞, la función es creciente Máximos y mínimos Para realizar el cálculo de máximos y mínimos no tenemos más que resolver la ecuación f'(x) = 0 y nos da una solución de la ecuación en x₀ y al ver la ecuación f''(x₀), entonces podemos tener que: f''(x₀)>0, entonces (x₀, f(x₀)) es mínimo. f''(x₀)<0, entonces (x₀, f(x₀)) es máximo. En el ejemplo anterior, y''(2) > 0, luego x = -3 es un mínimo. Intervalos de concavidad y convexidad Una función es convexa en el intervalo A, cuando la tangente queda por encima de la curva de la gráfica, y