Introducción a la integración

 Hemos visto en las entradas anteriores que si f(x) es una función conocida, podemos hallar mediante el cálculo diferencial su función derivada f'(x) y su diferencial f'(x)dx. A continuación, vamos a estudiar el proceso inverso al de hallar la función derivada. Este proceso es hallar la función primitiva. Pero así como la derivada de una función es única, al hallar la integral indefinida de una función podemos obtener infinitas funciones que son las llamadas funciones primitivas, y que difieren en una constante (Teorema fundamental del cálculo integral).

El objeto del cálculo integral es determinar las funciones primitivas de cualquier función f(x)

Función primitiva e integral indefinida

Si F(x) es una función cuya derivada F'(x) es igual f(x) en un intervalo (a, b), podemos afirmar que F(x) es una función primitiva de f(x).

La función x³ es la función derivada de x⁴/4, y a su vez, x⁴/4 es la primitiva de x³. Como las primitivas de una función se diferencian en una constante C, pueden ser primitivas todas las del tipo x⁴/4 + C. Para abreviar es preciso usar un signo de primitiva de f(x), esto es, la función cuya diferencial es f(x)dx. Este signo es ∫ y se llama integral indefinida y como hemos dicho tiene el significado de operación inversa a la representada por el signo d (diferenciación).

Por tanto, podemos decir que la integral indefinida de f(x) es el conjunto de todas sus primitivas;

∫f(x)dx = F(x) + c

Si dos funciones tienen iguales derivadas finitas en un intervalo, la diferencia de ambas funciones es constante en todo él.

De la definición de integral indefinida se deduce como consecuencia que:

d∫f(x)dx = f(x)dx

Es decir, que los signos dx e ∫dx se anulan mutuamente y las operaciones de diferenciación e integración son inversas la una de la otra.