Ecuación de la tangente a una circunferencia desde un punto exterior a ella

 Sea la ecuación de la circunferencia:

x²+y²+mx+ny+p = 0

y un punto Pₒ(xₒ, yₒ) exterior a ella, desde este punto podemos trazar a la circunferencia infinitas rectas cuya ecuación sería:

y-yₒ = ƛ(x-xₒ)

unas serán exteriores, otras secantes y otras tangentes. Solamente nos interesan estas últimas que verifican la ecuación:

x²+y²+mx+ny+p=0 (1)

Sabemos que:

y = yₒ+ƛ(x-xₒ)

Sustituyendo el valor de y en (1):

x²+[yₒ+ƛ(x-xₒ)]²+mx + n[yₒ+ƛ(x-xₒ)]+p = 0

Resolviendo la ecuación, nos encontraremos con discriminantes negativo (sin  solución real), la recta no corta a la circunferencia; discriminante positivo, la recta corta a la circunferencia en dos puntos, recta secante; discriminante igual a 0, la recta corta a la circunferencia en un solo punto, recta tangente.

Ejemplo

Dada la circunferencia: x²+y²+5x+3y-8=0 y el punto exterior P = (3,0), las tangentes a la circunferencia desde dicho punto.

Solución

Desde P, el haz de rectas será:
y-0 = ƛ(x-3) 

Sustituyendo en la ecuación de la circunferencia, tenemos:

x²+[ƛ(x-3)]² + 5x + 3[ƛ(x-3)]-8 = 0

Desarrollando cuadrados y quitando paréntesis:

x²(1+ƛ²)+x(-6ƛ²+5+3ƛ)+(9ƛ²-9ƛ-8)=0

El discriminante por lo tanto será:

(3ƛ+5-6ƛ²)²-4(1+ƛ²)(9ƛ²-9ƛ-8) = 0

Desarrollando cuadrados y despejando:

-55ƛ²+66ƛ+57 = 0

Resolviendo la ecuación, obtenemos las soluciones ƛ₁ = 0,58 (aprox.), ƛ₂ = 1,78 (aprox.). Luego, existen dos tangentes desde el punto P(3,0) a la circunferencia que serían:
  • y = 0,58(x-3)
  • y=1,78(x-3)


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