Integrales por cambio de variable

 Si tenemos la integral

∫f(x)dx

y no conocemos fácilmente su primitiva, podemos sustituir la variable x por otra relacionada con ella, sustituyendo a su vez dx. Así:

x = h(t)

dx = h'(t)dt

∫f(x)dx = ∫f[h(t)]·h'(t)dt = 𝜑(t)

Nos quedará una integral. Si esta función es fácilmente integrable en t, no tenemos más que sustituir en t por h-1(x), deshaciendo el cambio y nos queda resuelta la integral.

Ejemplo

Tenemos que hallar:

∫(x/(x²+1)²)dx

Hacemos el cambio:

x²+1 = t
2xdx = dt
x·dx = dt/2

Nos queda:

∫(x/(x²+1)²)dx = ∫(dt/2)/t² = ∫(1/2t²)·dt = (1/2)∫t-2dt = (1/2)[t-2+1/(-2+1)] = 
= 1/2(t-1/-1) = -1/2t = -1/2(x²+1) + C

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