Integración de funciones racionales

 Se llama función racional a una función en la que sólo se efectúan con la x las cuatro operaciones racionales y que es el cociente entre dos funciones que son polinomios:

R(x) = P(x)/Q(x)

Toda integral ∫(P(x)/Q(x))dx es expresable mediante funciones elementales conocidas.

Caso 1

Si el grado de P(x) ≥  grado de Q(x), se dividen ambos polinomios:

∫(P(x)/Q(x))dx = ∫[A(x) + R(x)/Q(x)]dx = ∫A(x)dx + ∫(R(x)/Q(x))dx

siendo A(x) el cociente obtenido en la división y R(x) el resto.

La primera integral ∫A(x)dx se resuelve como la integral de un polinomio por descomposición en sumas, para la segunda aplicamos el caso siguiente.

Caso 2

Si el grado de P(x) < Q(x), se trata de una fracción propia y se demuestra que puede expresarse en general como suma de fracciones simples que se obtienen por descomposición factorial del polinomio del denominador.

Sea ∫(P(x)/Q(x))dx

descomponemos Q(x) en factores por divisiones sucesivas:

• Q(x) = (x - a₁)·Q₁(x)
• Q(x) = (x - a₁)(x - a₂)·Q₂(x)

.............................................................................................

• Q(x) = a₀(x-a₁)(x-a₂)...(x-aₙ)

Podemos escribir la fracción como suma de fracciones simples donde cada denominador viene dado por los factores (x-a₁)(x-a₂)...(x-aₙ).

Atendiendo a la naturaleza de las raíces del polinomio Q(x), distinguimos los siguientes casos:

1. Raíces reales simples.
2. Raíces reales múltiples.
3. Raíces imaginarias simples.
4. Raíces imaginarias múltiples.

Veremos ejemplos en las siguientes entradas.