Ejemplo de integración de funciones racionales

 Estos ejemplos se realizan para entender mejor lo explicado en la entrada anterior.

Ejemplo 1

Vamos a calcular la integral

∫[(x³-3x²+1)/(x²-1)]dx

Solución

  • Al ser el grado del numerador 3, mayor que el del denominador, 2, se dividen los polinomios y se obtiene:

∫[(x³-3x²+1)/(x²-1)]dx = ∫(x-3 + (x-2)/(x²-1))dx = ∫(x-3)dx + ∫[(x-2)/(x²-1)]dx

Por lo que:

x²/2 - 3x + ∫[(x-2)/(x²-1)]dx

  • Las raíces de x²-1 son x²-1=0⇒x±1. Tiene, por tanto, dos raíces distintas.
  • Se descompone (x-2)/(x²-1) en fracciones simples:
(x-2)/(x²-1) = A/(x+1) + B/(x-1) = [A(x+1) + B(x-1)]/(x²-1)

Puesto que los denominadores son iguales, los numeradores también han de serlo:

x - 2 = A(x+1) + B(x-1)

Para determinar A y B, se dan valores a x.
  1. si x = 1, 1-2 = A(1+1) + B(1-1), -1 = 2A, A = -1/2
  2. si x = -1, -1-2 = A(-1+1) + B(-1-1) = -3 = -2B, B = 3/2
Debes notar que aunque a x se le pueden dar valores arbitrarios, en este caso se han elegido aquellos que anulan uno de los sumandos para simplificar los cálculos. Éste es un procedimiento muy generalizado.
  • Así pues, (x-2)/(x²-1) = (-1/2)/(x-1) + (3/2)/(x+1), por lo que:
∫[(x-2)/(x²-1)]dx = ∫[(-1/2)/(x-1)]dx + ∫[(3/2)/(x+1)]dx = (-1/2)·ln|x-1| + (3/2)·ln|x+1|
  • Finalmente:
∫[(x³-3x²+1)/(x²-1)]dx = x²/2 -3x -(1/2)·ln|x-1|+(3/2)·ln|x+1| + C

Ejemplo 2

Tenemos que calcular

∫[(x²+3x-5)/(x³-3x+2)]dx
Solución
  • Como el grado del numerador, 2, es menor que el del denominador, 3, no se dividen los polinomios.
  • Las raíces del polinomio x³-3x+2 se obtienen aplicando la regla de Ruffini, por lo tanto, x³-3x+2 = (x-1)²(x+2). El polinomio tiene una raíz simple, -2, y una raíz múltiple, 1, de multiplicidad 2.
  • La descomposición en fracciones simples de la fracción es:
(x²-3x +2)/(x³-3x + 2) = A/(x-1) + B/(x-1)² + C/(x+2) = [A(x-1)(x+2) + B(x+2) + C(x-1)²]/[(x-1)²(x+2)]
  • Como en el caso anterior, se igualan los numeradores y se dan valores arbitrarios a x para determinar A, B y C.
x²+3x-5 = A(x-1)(x+2) + B(x+2) + C(x-1)²
  1. Si x = 1, -1 = 3B ⇒ B = -(1/3)
  2. Si x = -2, -7 = 9C ⇒ C = -(7/9)
  3. Si x = 0, -5 = -2A+2B + C = -2A - 2/3 - 7/9 ⇒ A = 16/9
  • Por tanto:
∫[(x²-3x+5)/(x³-3x+2)]dx = ∫[(16/9)/(x-1)]dx + ∫[(-1/3)/(x-1)²]dx + ∫[(-7/9)/(x+2)]dx
∫[(x²-3x+5)/(x³-3x+2)]dx = (16/9)·ln|x-1| - (7/9)·ln|x+2| + 1/3(x-1) + C

En la siguiente entrada, veremos ejemplos cuando se obtienen raíces imaginarias.

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