Ecuación de la tangente a una circunferencia en un punto perteneciente a ella

 Vimos que la ecuación de la recta era Ax + By + C = 0, la ecuación reducida de una circunferencia x²+y²=r² y la ecuación general de la circunferencia x²+y² + mx + my +p = 0, existe un punto P que satisface las dos ecuaciones, y así, de esta manera, nos aparecía una ecuación de segundo grado que sería ax² + bx + c = 0, y así podremos tener varias soluciones.

1. Si b²-4ac>0 la ecuación tiene dos soluciones, la recta tiene dos puntos de contacto y por lo tanto es secante a la circunferencia.
2. Si b²-4ac=0, la ecuación tiene una solución, la recta tiene un punto de contacto y por lo tanto es tangente a la circunferencia.
3. Si b²-4ac<0, la ecuación no tiene solución real, la recta no tiene puntos de contacto con la circunferencia, dicha recta es exterior a la circunferencia.

Teniendo la ecuación de forma reducida x²+y²=r² y la ecuación de la tangente en P₀(xₒ, yₒ), entonces xₒ² + yₒ²= r². Si P es un punto perteneciente a la circunferencia, se tiene que verificar la ecuación

xₒ²+yₒ² = r² 

Si derivamos, tendremos:

2x +2yy' = 0

y' = -2x/2y = -x/y

el valor en P₀ será y' = -xₒ/yₒ. Por la tanto, la ecuación de la tangente en Pₒ será:

y - yₒ=(-xₒ/yₒ)·(x-xₒ)

Despejando tenemos que:

xₒx +yₒy = r²

Ejemplo

Teniendo la circunferencia x²+y²=16, tenemos que hallar la tangente en el punto (3,√2).

Solución

En el punto (3, √2), la pendiente será:

y' = -3/√2 = (-3√2)/2

La ecuación de la tangente será:

y-√2 = [(-3√2)/2]·(x-3)

Despejando, tenemos:

2y + 3√2x = 11√2