Integración por partes

 Si queremos calcular ∫udx vamos a resolverla aplicando la definición de diferencial de un producto de funciones. Sean u y v dos funciones de x:

d(u·v) = u·dv + v·du

despejando:

u·dv = d(u·v) - v·du

Integrando ambos miembros:

∫u·dv = ∫d(u·v) - ∫v·du

como los signos ∫ y d se anulan, nos queda:

∫u·dv = u·v - ∫v·du

reduciendo el cálculo de una integral al de la otra, lo que tiene ventaja cuando el cálculo de ésta es más sencillo.

Ejemplo

Vamos a hallar

∫x·sen x dx

Solución

Hacemos el cambio:

x = u
sen x dx = dv

Por lo que:

du = dx
v = -cos x

Aplicando la fórmula general de la integración por partes:

∫u·dv = u·v - ∫v·du

Tenemos:

∫x·sen x dx = -x·cos x - ∫(-cos x)·dx = -x·cos x -(-sen x) = -x·cos x + sen x + C
Hay que tener en cuenta al elegir la primera integración el factor que se toma como u y el que se toma como dv. Se debe ver si se simplifica la integral o por el contrario se complica, en cuyo caso se debe cambiar o elegir otro método.

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