Ejemplo de representación gráfica de una función

 Vamos a representar gráficamente la función:

y = x³-x²-6x

Solución

La función está definida para todos los valores de x.

Corte a los ejes

Corte a 0Y: x=0, y = 0

Corte a 0X: y = 0, por lo que x³-x²-6x = 0, que es lo mismo que x(x²-x-6) = 0, resolviendo esta ecuación tenemos las siguientes soluciones:

• x = 0, y = 0
• x=3, y = 0
• x=-2, y = 0

Crecimiento y decrecimiento

y' = 3x²-2x-6

Igualando a 0:

3x²-2x-6 = 0

Se trata de una ecuación de segundo grado. Si la resolvemos, obtenemos las siguientes soluciones:

x₁ = (1 + √19)/3, x₂ = (1 - √19)/3

Por lo tanto, la función será creciente si x < (1-√19)/3 y decreciente si (1-√19)/3<x<(1+√19)/3.

Máximos y mínimos

Calculamos la segunda derivada, que es y'' = 6x - 2. Para x = (1-√19)/3, y'' = 6·(1-√19)/3 - 2 = -2√19 <0, máximo.

Para x = (1+√19)/3, y'' = 6·(1+√19)/3 -2 = 2√19 > 0 (mínimo).

Para calcular los puntos que son máximo y mínimo, sustituimos los valores obtenidos en f'(x) = 0 en f(x). Para facilitar los cálculos, tomamos como valor de (1-√19)/3 = -1,12, y como valor de (1+√19)/3 a 1,78, por lo que sustituyendo tenemos:

y = (-1,12)³ - (-1,12)² -6(-1.12) = 4 (aprox.); y = (1,78)³ - (1,78)² - 6·(1,78) = -8 (aprox.)

• (-1,12,4) es un máximo.
• (1,78,-8) es un mínimo.

Concavidad y convexidad

Buscamos los valores que hacen que y'' = 0, en este caso 6x-2 = 0. Obtenemos que x = 1/3. Por lo tanto:

• -∞<x<1/3, y''<0 (cóncava hacia abajo)
• 1/3<x<∞, y''>0 (cóncava hacia arriba)

Puntos de inflexión

y''= 0, 6x-2 = 0, x = 1/3 (candidato a punto de inflexión).

y'''=6≠0, por lo que x = 1/3 es un punto de inflexión. Sustituimos este valor en f(x) y obtenemos:

y = x³-x²-6x = (1/3)³-(1/3)²+6(1/3) = -56/27

Por lo tanto, el punto de inflexión es (1/3, -56/27).

Simetrías

• La función no es simétrica respecto al eje 0Y puesto que al sustituir x por -x la función varía.
• No es simétrica respecto al origen porque al sustituir x por -x e y por -y la función varía.

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La función no presenta periodicidad ni asíntotas verticales, ni asíntotas horizontales ni oblicuas.

Gráficamente, sería así: