Método de integración por partes reiterado

 Sea una integral del tipo:

∫P(x)·e^𝛼xdx

podemos calcularla por dos métodos:

• Derivando e identificando:

∫P(x)e^𝛼xdx = Q(x)e𝛼x

• Método de integración por partes reiterado.

Suponemos

e^𝛼xdx = dv → v = (1/𝛼)e^𝛼x

P(x) = u → du = P'(x)dx

Aplicando el método de integración por partes tendremos:

∫P(x)e^𝛼xdx = P(x)(1/x)e^𝛼x - (1/x)∫P'(x)e^𝛼xdx

donde ∫P(x)e^𝛼xdx tiene la misma forma que la integral de la que partimos, con la diferencia de que aquí el polinomio P'(x) es el derivado de P(x). Si continuamos aplicando de forma reiterada la integración por partes resulta:

∫P(x)e^𝛼xdx = e^𝛼x[P(x)/𝛼 - P'(x)/𝛼²+P''(x)/𝛼³+...+(-1)ⁿ(Pⁿ/𝛼ⁿ⁺¹)]+C

El mismo método se aplica a:

∫P(x)·cos ax dx y P(x)·sen ax dx

Ejemplo

Calcular 

∫x²·e^x dx

Solución

• La identificación en este caso puede ser u = x², y dv = e^x dx.
• De u = x², se deduce diferenciando que du = 2xdx.
• De dv = e^x dx, integrando,  v = ∫e^xdx = e^x
• Aplicando la fórmula:

∫x²e^xdx = x²·e^x - ∫e^x·2xdx = x²e^x - 2∫xe^xdx (1)

• Se vuelve a integrar por partes ∫x·e^xdx
• u = x; du = dx; dv=e^xdx, v = ∫e^xdx = e^x
• Así, tenemos

∫x·e^xdx = x·e^x - ∫e^xdx = xe^x - e^x = e^x(x-1)

• Llevando este resultado a (1):

∫x²e^xdx = x²e^x-2e^x(x-1) = e^x[x²-2(x-1)]=e^x(x²-2x+2) + C