Representación gráfica de funciones (2)

 Intervalos de crecimiento

Si la derivada de una función es mayor que 0, dicha función es creciente en x₀, y si la derivada es menor que 0, la función es decreciente en x₀. Entonces obtenemos los intervalos en que ∀ la derivada es >0 o <0.

Ejemplo

y = x²+6x-3

y' = 2x + 6

• Si 2x + 6 >0, x>-3
• Si 2x+6<0, x<-3

O sea, que ya tenemos los intervalos:

• -∞<x<-3, la función es decreciente.
• -3<x<∞, la función es creciente

Máximos y mínimos

Para realizar el cálculo de máximos y mínimos no tenemos más que resolver la ecuación f'(x) = 0 y nos da una solución de la ecuación en x₀ y al ver la ecuación f''(x₀), entonces podemos tener que:

• f''(x₀)>0, entonces (x₀, f(x₀)) es mínimo.
• f''(x₀)<0, entonces (x₀, f(x₀)) es máximo.

En el ejemplo anterior, y''(2) > 0, luego x = -3 es un mínimo.

Intervalos de concavidad y convexidad

Una función es convexa en el intervalo A, cuando la tangente queda por encima de la curva de la gráfica, y una función es cóncava en el intervalo cuando la tangente queda por debajo de la curva de la gráfica.

Si una función f es convexa su derivada f' es también creciente; si la función f es cóncava, su derivada f' es decreciente.

Para calcular cuando f' es creciente o decreciente, tenemos que calcular su derivada f''. Si f''(x) es mayor que 0, f' es creciente en A y por lo tanto convexa. Si f''(x) es menor que 0, f' es decreciente en A y por lo tanto cóncava.

Ejemplo

Sea la función:

f(x) = x²-8x+3

f'(x) = 2x-8

f''(x) = 2

Entonces, tenemos f''(x) >0, por lo tanto, la función es convexa.