Supermatemáticas a tu alcance

 Sea f(x) una función continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces para cada punto interior x₀ significa que dado un 𝜖 > 0, existe un número ẟ > 0 que depende de x₀ tal que |x - x₀| < ẟ, implica que |f(x) - f(x₀)| < 𝜖. En general, no podemos esperar que para un 𝜖 > 0 sirva un ẟ fijo para todo el intervalo [a, b]. Esto, sin embargo, puede ocurrir. Cuando es así, la función se llama uniformemente continua en [a, b]. Observa que la continuidad uniforme es una propiedad global. Definición: La continuidad de f(x) en A→R definida en un intervalo A ⊂ R se dice uniforme en A si para cada 𝜖>0 existe un ẟ>0 tal que para cualquier par de puntos x', x'' A, se cumpla |x' - x''| < ẟ, |f(x') - f(x'')| < 𝜖. Ejemplo Sea f(x) = sen (x) Para un 𝜖 cualquiera, |sen(x) - sen(x')| = 2|sen((x-x')/2)·cos((x+x')/2)| < 2·|(x - x')/2|<𝜖. Sin más que tomar |x - x'|<

 Funciones exponencial y logarítmica La función e x es continua y estrictamente creciente en R. Si x tiende a -∞, el límite de e x es 0, y si tiende a +∞, el límite de e x es +∞. La inversa de la función e x es Ln(x) que es también estrictamente creciente y continua. Funciones trigonométricas f(x) = sen x. La gráfica se indica en la figura Esta función es creciente en el intervalo (-𝜋/2,𝜋/2), y también es continua en dicho intervalo: sen(𝜋/2) = 1 sen(-𝜋/2) = -1 Luego está definida la función inversa f -1 (x) = arc sen (x), y es estrictamente creciente y continua en el intervalo [-1, 1]. Luego la gráfica será: Nota que no consideramos la función sen (x) definida en toda la recta real, en la cual sería no inyectiva, sino solamente su restricción al citado intervalo (-𝜋/2,𝜋/2). f(x) = cos(x).  Definida en el intervalo cerrado [0, 𝜋] es estric

 Si f:A→R es una función continua en x₀ y g:B→R es una función también continua en f(x₀) y de modo que f(A) ⊂ f(B), entonces g∘f es una función también continua en x₀. La demostración es inmediata: Por ser f(x) continua en x₀, el límite de f(x) cuando x tiende a x₀ es igual a f(x₀). Por ser g(x) continua en f(x₀), el límite de g(x) cuando x tiende a f(x₀) es igual a g(f(x₀)) Por ejemplo: e f(x) , Ln(f(x)), sen(f(x)), etc Vamos a ver ahora una series de cuestiones relativas a las funciones inversas: Sea f(x) una función estrictamente creciente en el intervalo [a, b], entonces existe la función inversa y es estrictamente creciente. En primer lugar, f(x) es estrictamente creciente si xᵢ < xⱼ ⇒ f(xᵢ)<f(xⱼ) y esto se cumple para ∀ xᵢ,xⱼ ∈ [a,b]. Desde luego, si xᵢ≠xⱼ⇒f(xᵢ)≠f(xⱼ), luego la función es biyectiva. Desde luego, estamos considerando como conjunto imagen [f(a), f(b)], la función inversa

 Vamos a enunciar algunas propiedades características de las funciones continuas. Si una función f(x) definida en el intervalo R es continua en x₀ y f(x₀) ≠ 0, entonces, en algún entorno de x₀, la función mantiene signo constante el signo de f(x₀) y además existe un valor r >0 tal que en dicho entorno |f(x)| > r. Recíprocamente, si una función es continua en un punto x₀ y en todo entorno de x₀, toma valores positivos o negativos, entonces f(x₀) = 0. Si una función de variable real está definida en un intervalo [a, b], es continua en todo en el intervalo y f(a)·f(b) < 0, entonces existe un punto C ∈ [a, b], tal que f(c) = 0. Esta propiedad se puede enunciar de forma más general: si f(x) es una función continua en [a, b] entonces para cualquier valor K comprendido entre f(a) y f(b) existe un punto c tal que f(c) = K. Si una función está definida en el intervalo cerrado [a, b] y es continua en todo el

 Decimos que una función f(x) es continua en un punto x₀ si el límite de f(x), cuando x tiende a x₀, es igual a f(x₀). En definitiva, cuando existe el límite y dicho límite coincide con el valor f(x₀). Tipos de discontinuidad Discontinuidad evitable Existe el límite de f(x) = L, cuando x tiende a x₀, pero no coincide con f(x₀). Se trata de una discontinuidad evitable. Se puede evitar dando a f(x₀) el valor L. Discontinuidad de 1º especie Si no existe lim f(x), cuando x tiende a x₀, pero existen los límites laterales. Por lo tanto, dichos límites laterales serán distintos. Se llama salto o valor de la discontinuidad al valor absoluto de la diferencia de los límites laterales. Las funciones escalera tienen discontinuidades evitables o de primera especie. Discontinuidad de 2ª especie No existe el límite de f(x) cuando x tiende a x₀ pero tampoco existe alguno o ninguno de los límites laterales.

 Veamos la definición de continuidad en un punto. Sea f(x) una función definida en A = [a, b] siendo A un intervalo cerrado de R. La función f(x) es continua en x₀ ∈ A si ∀𝜖>0 es posible encontrar un ẟ>0 tal que: |x - x₀|<ẟ ⇒ |f(x) - f(x₀)|<𝜖 es decir a todo intervalo abierto con centro f(x₀) H 𝜖 se le puede hacer corresponder un intervalo abierto con centro en x₀ E ẟ (x₀) tal que: (x ∈ E ẟ (x₀))⇒ f(x) H 𝜖 Cuando una función no es continua en un punto se dice que es discontinua en él. La definición de continuidad de una función numérica en un punto x ∈ A del intervalo en el que está definida es equivalente a la siguiente: Una función  definida en un intervalo A ⊂ R es continua en un punto x₀ ∈ A, si y solo si, existe el límite de f(x), cuando x tiende a x₀ y coincide con el valor de f(x₀). La consideración de los límites laterales en una función permite establecer otras definiciones:

 A partir de la definición de límite de una función real podemos construir una nueva función φ de modo que si el límite cuando x tiende a x₀ es igual a L, esta nueva función que construimos es: φ(x) = f(x) - L Evidentemente, cuando x tiende a x₀, el límite de φ(x) es igual a 0. A este tipo de funciones tales que tienden a 0, o  al tender x →∞ se les llama infinitésimos . Observa que no se puede hablar de infinitésimo de una manera absoluta. Así, 1/x es un infinitésimo si x tiende a 0, pero no lo es si x tiende a 2. En un punto podemos sustituir la función por la suma del límite de la función en un punto más un infinitésimo. Vamos a empezar viendo la notación O y o que se conocen como notaciones de Bachman. La expresión f(x) = O(g(x)) para x ∈ X, denota que existe una constante real K > 0 y un intervalo X ⊂ A tal que: |f(x)|≤K|g(x)| Análogamente se escribe: f(x) = O(g(x)) si en particular, existe y es finito el límite cuando x ti

 En el cálculo de límites nos encontramos con expresiones cuyo resultado no es previsible: (+∞)+(-∞) (+∞)-(+∞) (-∞)-(-∞) (+∞)·0 (-∞)·0 ±∞/±∞ 0/0 0⁰ (+∞)⁰ 1 +∞ 1 -∞ Al hallar el límite de la suma de funciones, pueden aparecer los casos de indeterminación 1, 2 y 3 cuando calculamos el límite cuando x tiende a x₀ de [f(x) + g(x)]. En el producto pueden aparecer los casos 4 y 5. Para el cociente: pueden aparecer los casos 6 y 7. En la función exponencial, pueden aparecer los siguientes casos de indeterminación 8, 9, 10 y 11.

 Límite de la suma de funciones Si f(x), g(x) son dos funciones definidas en A, y existen, cuando x tiende a x₀: lim f(x) = L, lim g(x) = L' existen, cuando x tiende a x₀: lim {f(x) + g(x)| = lim f(x) + lim g(x) = L + L' Límite del producto de funciones Si existen, cuando x tiende a x₀: lim f(x) = L lim g(x) = L' Entonces: lim [f(x)·g(x)] = lim f(x) · lim g(x) = L·L' Producto de un número real por una función Para todo k ∈ R , cuando x tiende a x₀: lim (k·f(x)) = k·lim f(x) Función simétrica respecto del producto Si existe el límite de f(x) L cuando x tiende a x₀, y además, es distinto de cero, entonces: lim 1/f(x) = 1/L Cociente de funciones Si lim f(x) = L, lim g(x) = L' (L' ≠ 0), cuando x tiende a x₀: lim f(x)/g(x) = lim f(x)/lim g(x) = L/L' Como consecuencia de la propiedad del límite de producto de funciones, tenemos: Si lim f(x) = L, cuando x tiende a x₀, lim [f(x)]ⁿ =

 Vamos a demostrar en esta entrada la unicidad del límite. Si suponemos una función f(x) con dos límites distintos en el mismo punto x₀: L y L'. Fijado 𝜖>0, existirán dos números reales ẟ' y ẟ'' tales que: |x - x₀| < ẟ', x ∈ A, x ≠ x₀ ⇒|f(x) - L| < 𝜖 |x - x₀| < ẟ'', x ∈ A, x ≠ x₀ ⇒|f(x) - L'| < 𝜖 Sea ẟ = min(ẟ', ẟ''), se ve que para los puntos tales que |x - x₀| ≤ ẟ y x ≠ x₀ se verifican las dos implicaciones y como tenemos: |L - L'| = |L - f(x) + f(x) -L'| ≤ |L - f(x)| + |F(x) - L'| < 2𝜖 De aquí se deduce que L = L' = 0, o sea L = L', ya que la desigualdad |L - L'| < 2𝜖 se cumple ∀𝜖>0 y se puede escribir -2𝜖<L - L'<2𝜖. La única forma de conciliar esto es que |L - L'| = 0, con lo que queda demostrada la unicidad del límite.

 La indicación x→x₀ decimos que x se aproxima al valor x₀ (es lo mismo que decir que x tiende a x₀), pero puede tomar valores mayores o menores que x₀, es decir, puede acercarse por la izquierda o por la derecha. Esto nos lleva a conceptos de límites laterales de la función en un punto. Se dice que L es el límite por la derecha de la función f(x) en el punto x₀, cuando para cada número real 𝜖 > 0 existe otro ẟ > 0 tal que 0<x - x₀<ẟ⇒|f(x) - L|<𝜖 y cuando x tiende a x₀⁺,  L = lim f(x) Definimos el límite por la izquierda : si ∀ 𝜖>0, ∃ ẟ tal que 0 < x - x₀<ẟ ⇒|f(x) - L| < 𝜖 y cuando x tiende a x₀⁻ L = lim f(x) La condición necesaria y suficiente para la existencia de límite en un punto x₀ es que existan y sean iguales a los límites laterales. Demostración de la condición necesaria Vamos a demostrar que cuando x tiende a x₀⁺ el lim f(x) es igual cuando x tiende a x₀⁻ = L, por lo que cuando x tiende a x₀, lim f(x)

 Si f(x) es una función real de variable real de A ⊂ R en R, y g(y) es una función real de variable real de B ⊂ R en R, con f(A) ⊂ f(b) y existe, cuando x tiende a x₀ lim f(x) = L₁, y también existe  cuando y tiende a y₀, lim g(y) = L₂, siendo y₀ = f(x), entonces existe, cuando x tiende a x₀, lim (g∘f)(x), y coincide con, cuando y tiende a y₀, lim g(y) = L₂. Demostración Al ser L₂ = el lim g(y) cuando y tiende a y₀ tendremos que para cada 𝜖 > 0 existe un ẟ > 0 tal que |y - y₀| < ẟ ⇒ |g(y) - L₂| < 𝜖 y al ser L₁ el lim f(x) cuando x tiende a x₀, tendremos que a partir del ẟ anterior, podremos encontrar un ꞵ > 0 tal que |x - x₀| < ꞵ ⇒ |f(x) - L₁| < 𝜖, luego ∀ 𝜖 > 0 ∃ ꞵ/|x - x₀| < ꞵ ⇒ |(g∘f)(x) - L₂| < 𝜖, o sea que cuando x tiende a x₀: lim [(g∘f)(x)] = L₂

 Teorema Sea f una función real definida en A, sea x₀ un punto de acumulación de A Para que f tenga por límite L en el punto x₀, es necesario y suficiente que cualquiera que sea la sucesión xₙ de puntos de A, distintos de x₀, pero que converge hacia x₀, la sucesión de números reales |f(x)| tenga por límite L.   Condición necesaria Suponemos que lim f(x) = L, cuando x tiende a x₀ y que {xₙ} ⊂ A. Fijado 𝜖>0, por ser el lim f(x) = L, cuando x tiende a x₀, existe un ẟ>0 tal que para |x - x₀|≤ẟ, x ∈ A, x≠x₀ ⇒|f(x) - L| < 𝜖 Para cada ẟ, por ser lim xₙ = x₀ cuando n tiende a infinito, existe un número natural N tal que n ≥N=> |xₙ - x₀|≤ẟ y xₙ ∈ A, xₙ ≠ x₀, luego ∀𝜖>0 le hacemos corresponder un número natural N, tal que n≥N⇒|f(xₙ) - L|≤𝜖, que es lo que tratábamos de demostrar. Condición suficiente Debe cumplirse que si, cuando n tiende a infinito: lim xₙ = x₀, lim f(xₙ) = L, implica que lim f

 Esta entrada explica un concepto de la entrada anterior. Demostración que la condición es necesaria Es decir, estamos suponiendo que f(x) = L. Fijado arbitrariamente el número 𝜖>0, consideremos el 𝜖/2, y para este número, en virtud de la hipótesis existirá otro δ>0, tal que |x - x₀|≤δ, x ∈ A, x≠h implica:|f(x) - L|≤𝜖/2. Si x', x'' son dos puntos cualesquiera de A, que verifiquen las condiciones anteriores, podemos escribir: |f(x')-L|≤ 𝜖/2, |f(x'') - L|≤ 𝜖/2 luego: |f(x') - f(x'')| = |f(x') - f(x'') -L +L|≤|f(x') -L| + |L-f(x'')| ≤𝜖/2 + 𝜖/2 = 𝜖 queda por tanto demostrada que la condición es necesaria. Demostración que la condición es suficiente Sea {xₙ} una sucesión de números reales que convergen hacia x₀. Se tiene que xᵢ ∈ A ∀i. Entonces, fijado arbitrariamente el número real ẟ>0 existirá un N, tal que si m≥N, n≥N, |xₘ - x₀|≤ẟ, |xₙ-x₀|≤ẟ. Si en parti

 Sea x₀ un punto de acumulación del conjunto A. Diremos que la función f tiene en el punto x₀ límite L R y escribiremos: L = lim f(x), cuando x tiende a x₀, si ∀𝜖＞0 ∃ẟ＞0 / ∀x ∈ A tal que 0<|x - a|<ẟ, se tiene 0<|f(x) - L < 𝜖 Recuerda que a ∉ A. Límites infinitos Diremos que la función f(x) tiene por límite +∞ en x₀ punto de acumulación de A, si ∀k, real y positivo, tan grande como queramos se puede determinar un número  ẟ > 0, de modo que se cumpla que si 0<|x - x₀|< ẟ, entonces |f(x)|>k. Y escribiremos, cuando x tiende a x₀ lim f(x) = +∞ Diremos que la función tiene por límite -∞ en el punto x₀ de acumulación de A si ∀k real mayor que cero existe  ẟ>0 de modo que si 0<|x - x₀|< ẟ implica que f(x) < - k, y se escribe, cuando x tiende a x₀: lim f(x) = -∞ Límites en el infinito Un subconjunto de A de R tal que A⋂R⁺ no está acotado, tiene como punto de acumulación ∞, análogamente

 Si dos funciones numéricas están definidas sobre un mismo conjunto A, entonces podemos sumarlas y multiplicarlas. Sean f:A→R, g:A→R Se llama función suma de ambas a la función: h:A→R tal que ∀x ∈ A h(x) = f(x) + g(x) Esta suma es asociativa. El conjunto de funciones numéricas definidas sobre un conjunto A forman un grupo aditivo abeliano, la función nula es la función que a cada elemento de A hace corresponder el 0 de R; la función opuesta es la definida por: -f(x) = (-f)(x) En cuanto al producto de funciones definidas sobre el mismo conjunto A: (f·g)(x) = f(x)·g(x) la nueva función es una función numérica definida sobre el mismo conjunto A. El producto es asociativo. Existe elemento unidad respecto del producto, precisamente la función que hace a cada elemento x ∈A le hace corresponder el elemento 1 de R. El producto de funciones numéricas no tiene nada que ver con la composición de funciones que se define en Álgebra. La composición d

 Funciones monótonas crecientes y decrecientes Una función real de variable real f:A→R con A ⊂ R se dice: no decreciente si ∀(x<y) ⇒ f(x) ≤ f(y) creciente cuando  ∀(x<y)⇒ f(x) < f(y) no creciente cuando ∀(x < y) ⇒ f(x) ≥ f(y) decreciente cuando ∀(x<y) ⇒ f(x) > f(y) Todas las funciones anteriores reciben el nombre de funciones monótonas. Funciones acotadas Una función f:A→R se dice acotada si el conjunto f(a) ⊂ R está acotado. Se puede hablar de acotada superior o inferiormente. Una función como la función de R en R definida por f(x) = x, es una función no acotada. Si una función está acotada superiormente definimos como extremo superior de una función acotada f:A→R al extremo superior del conjunto f(A) ⊂ R. Análogamente, se define el extremo inferior. Dada las funciones de A en R f₁, f₂,...,fₘ se llama envuelta superior de las mismas a la función f:A→R definida por: ∀x f(x) = max(fᵢ(x))

 Dado un subconjunto A  ⊂ R diremos que f: A → R es una función; el valor correspondiente a un punto x ∈ A lo representaremos por f(x). En algunos casos, se representará la función por una o varias expresiones analíticas. Así, un ejemplo de   función f(x): f(x) = x² + 2x - 1 Una función con varias expresiones analíticas es la siguiente: R→R ∀ x < 0 f(x) = -1 x = 0 f(0) = 0 ∀ x > 0 f(x) =1 Esta función se suele escribir f(x) = sgn (x). En general toda función, definida en un conjunto cualquiera A, con valores en R, se dice función numérica o función real cuando A ⊂ R hablamos de función real de variable real. Al conjunto A, lo llamamos campo de definición de la función y al conjunto R, campo de valores de la función. La ordenación en R induce a una ordenación en el conjunto de funciones de A en R. Diremos que f₁≥f₂ si y solo si: ∀ x ∈ A f₁(x)≥f₂(x) El orden no es total, pero tenemos las siguientes propiedades: Dos

 Los distintos fenómenos que observamos en la naturaleza están relacionados unos con otros. Esta dependencia se manifiesta en las leyes físicas. Estas leyes indican que las distintas magnitudes que caracterizan un fenómeno están tan relacionadas que algunas de ellas quedan determinadas por los valores de las demás. Así, en un rectángulo su área queda determinada por la longitud de sus lados (por ejemplo). Fueron correspondencias de esta clase las que sirvieron de origen al concepto de función. El problema del análisis es el estudio de las funciones, esto es, la dependencia de una variable respecto a otra. Se representa por: y = f(x) y es función de x.

 Consideramos un punto P de una superficie cilíndrica x² + y² = P, siendo P' su proyección sobre el plano xy. P' pertenece a la esfera de centro O y radio 𝙥 y por lo tanto según las coordenadas polares del plano viene definido por (𝙥, 𝛉) de modo que el punto P se determina por (𝙥, 𝛉, z) que son sus coordenadas cilíndricas. La relación entre coordenadas cartesianas y cilíndricas es la siguiente: x = 𝙥·cos 𝛉 y = 𝙥·sen 𝛉 z = z entonces: x² =  𝙥²·cos² 𝛉 y² = 𝙥²·sen² 𝛉 Por lo que: x² + y² = 𝙥² Podemos establecer: 𝙥 = √( x² + y²) tg 𝛉 = y/x  0≤𝛉≤2𝜋 z = z  -∞≤ᴢ≤+∞

 Se define una superficie esférica como un conjunto de puntos que cumplen la propiedad de equidistar de uno fijo C que llamamos centro y la distancia de estos puntos y el centro se llama radio. Siendo P un punto, y P' su proyección en el plano xy. 𝙥 = distancia (O, P) 𝛉 = ángulo que forman la recta OP' y OX (eje positivo) φ = ángulo que forman OP y OZ (eje positivo) Estas tres coordenadas (𝙥, 𝛉, φ) definen el punto P: 𝙥 radio vector  0≤𝙥≤∞ → 𝙥 = √(x²+y²+z²) 𝛉 longitud   0≤𝛉≤2𝜋 → tg 𝛉 = y/x φ colatitud  0≤φ≤𝝅 → tg φ = √(x²+y²)/z La relación coordenadas cartesianas-esféricas es la siguiente: x = 𝙥·sen φ·cos 𝛉 y = 𝙥·sen φ·sen 𝛉 z = 𝙥·cos 𝛉