Las funciones numéricas

 Dado un subconjunto A  ⊂ R diremos que f: A → R es una función; el valor correspondiente a un punto x ∈ A lo representaremos por f(x). En algunos casos, se representará la función por una o varias expresiones analíticas. Así, un ejemplo de   función f(x):

f(x) = x² + 2x - 1

Una función con varias expresiones analíticas es la siguiente:

R→R

• ∀ x < 0 f(x) = -1
• x = 0 f(0) = 0
• ∀ x > 0 f(x) =1

Esta función se suele escribir f(x) = sgn (x).

En general toda función, definida en un conjunto cualquiera A, con valores en R, se dice función numérica o función real cuando A ⊂ R hablamos de función real de variable real. Al conjunto A, lo llamamos campo de definición de la función y al conjunto R, campo de valores de la función.

La ordenación en R induce a una ordenación en el conjunto de funciones de A en R.

Diremos que f₁≥f₂ si y solo si:

∀ x ∈ A f₁(x)≥f₂(x)

El orden no es total, pero tenemos las siguientes propiedades:

• Dos funciones cualesquiera admiten una función posterior a ambas:

f: A→R ∀ x ∈ A , f(x) = max{f₁(x), f₂(x)}

• Admiten una función anterior común:

g: A →R ∀ x ∈ A. g(x) = min{f₁(x), f₂(x)}

Por otra parte:

1. Funciones no negativas son aquellas en las que ∀x ∈ A f(x) ≥ 0
2. Funciones positivas son aquellas en las que  ∀ x ∈ A f(x) > 0

Igualmente, definimos funciones no positivas y negativas.

Definimos la función nula mediante:

f(x) = 0 ∀x ∈ A