Algunos tipos de funciones

 Funciones monótonas crecientes y decrecientes

Una función real de variable real f:A→R con A ⊂ R se dice:

1. no decreciente si ∀(x<y) ⇒ f(x) ≤ f(y)
2. creciente cuando  ∀(x<y)⇒ f(x) < f(y)
3. no creciente cuando ∀(x < y) ⇒ f(x) ≥ f(y)
4. decreciente cuando ∀(x<y) ⇒ f(x) > f(y)

Todas las funciones anteriores reciben el nombre de funciones monótonas.

Funciones acotadas

Una función f:A→R se dice acotada si el conjunto f(a) ⊂ R está acotado. Se puede hablar de acotada superior o inferiormente. Una función como la función de R en R definida por f(x) = x, es una función no acotada.

Si una función está acotada superiormente definimos como extremo superior de una función acotada f:A→R al extremo superior del conjunto f(A) ⊂ R. Análogamente, se define el extremo inferior.

Dada las funciones de A en R f₁, f₂,...,fₘ se llama envuelta superior de las mismas a la función f:A→R definida por:

∀x f(x) = max(fᵢ(x))

Si tenemos una sucesión de funciones f₁, f₂,...,fₙ la envuelta superior, cuando existe, se define:

∀x, f(x) = extr. superior(fᵢ(x))

Podemos definir igualmente la envuelta inferior.

Funciones en escalera-funciones convexas

Una función f:A→R con A = [a, b] ⊂ R se dirá función en escalera cuando existe un número finito de puntos de [a, b] tales que a₁<a₂<a₃<...<aₙ = b y un conjunto de valores reales b₁, b₂,...,bn-1 para lo que se tiene:

x ∈ (aᵢ, a_i+1)  f(x) = bᵢ  i=1, 2, 3, ..., (n-1)

Una función f:A→R con A = [a, b] ⊂ es una función convexa si para cualquier intervalo [a₁, a₂] de [a, b], el segmento en R² de extremos (a₁,f(a₁)) y (a₂, f(a₂)) está incluido en el conjunto de puntos (x, y) de R² definido por y ≥ f(x). Esto es:

∀ (0≤ƛ≤1)  f(ƛa₁ + (1-ƛ)a₂)≤ƛf(a₁) + (1-ƛ)f(a₂)