Supermatemáticas a tu alcance

 Si el punto es el origen (0, 0, 0), entonces: Si la recta viene dada en forma ordinaria : d = √{[h²+k²+(ak -bh)²]/(a²+b²+1)} Si la recta viene dada en formal normal , la distancia es la raíz cuadrada de la siguiente expresión:

 Dada la recta en forma normal : (x-x₀)/cos 𝛼 = (y - y₀)/cos 𝛽 = (z - z₀)/cos 𝛾 y el punto P(x₁, y₁, z₁). Si unimos la recta y el punto mediante una perpendicular PQ y además trazamos una recta desde P hasta R(x₀, y₀, z₀) que es un punto fijo de la recta y tenemos: d² = PR ² - RQ ² siendo PR ² = (x₀-x₁)²+(y₀-y₁)²+(z₀-z₁)² Si trazamos por P y R planos paralelos a xz, xy, zy, obtenemos un paralelepípedo cuya diagonal es precisamente RP y a su vez la proyección de esta sobre RQ es: RQ = (x₁-x₀)·cos 𝛼 + (y₁-y₀)·cos 𝛽 + (z₁-z₀)·cos 𝛾 de donde: d² = (x₁-x₀)² + (y₁-y₀)² + (z₁-z₀)² - [ >(x₁-x₀)·cos 𝛼 + (y₁-y₀)·cos 𝛽 + (z₁-z₀)·cos 𝛾] Si la recta viene dada en forma ordinaria : (x-h)/a =(y-k)/b = z/1 x₀ = h y₀ = k z₀ = 0 la distancia viene dada por: d = √{[(y₁-k)·cos 𝛾 - z₁·cos 𝛽]² + [z₁·cos 𝛼 - (x₁-h)·cos 𝛾]² + [(x₁-h)·cos 𝛽 + (y₁-k)·cos 𝛼]²}

 Dado un plano Ax + By + Cz + D = 0, referido a ejes rectangulares, sea el punto P₁(x₁, y₁, z₁), queremos obtener la distancia entre el punto P y el plano. Consideramos el punto P₁(x₁, y₁, z₁) como nuevo origen de coordenadas, la ecuación del plano para los nuevos ejes será aplicando la traslación: x = X + x₁ y = Y + y₁ z = Z + z₁ AX + BY + CZ +Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D = 0 la distancia del punto P₁(x₁, y₁, z₁) al plano será la longitud de la normal al nuevo plano desde el origen de coordenadas y viene dada por: d = (Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D)/±√(A²+B²+C²) Como podemos observar, el numerador es la ecuación del plano sustituyendo los valores x, y, z por las coordenadas del punto dado y el denominador es la raíz de la suma de los cuadrados de los coeficientes del plano. Si el plano viene dado en la forma hessiana: xcos 𝛼 + ycos 𝛽 + zcos 𝛾 - p = 0 la distancia de un punto P₁(x₁, y₁, z₁) al plano viene dada por: d = x₁cos 𝛼 + y₁cos 𝛽 + z₁cos

 Dados dos puntos P(x₁, y₁, z₁) y P₂(x₂, y₂, z₂) pertenecientes a la recta r. Si dichos por dichos puntos trazamos 6 planos paralelos a los coordenados (que pueden ser rectangulares o no) obtendremos un paralelepípedo que tendrá por diagonal la recta que une ambos puntos: P₁ y P₂. Ejes no rectangulares En ejes no rectangulares, las aristas quedan definidas: BC = x₂ - x₁ CP₁ = y₂ - y₁ BP₂ = z₂ - z₁ Si proyectamos la línea P₁CBP₂ ortogonalmente obtendremos P₁P₂ sobre la recta r y los ejes. d = (x₂ - x₁)cos xr + (y₂ - y₁)cos yr + (z₂ - z₁) cos zr dcos xr = (x₂ - x₁) + (y₂ - y₁)cos xy + (z₂ - z₁) cos xz dcos yr = (x₂ - x₁)cos yx + (y₂ - y₁)+ (z₂ - z₁) cos yz dcos zr = (x₂ - x₁)cos xz + (y₂ - y₁)cos zy + (z₂ - z₁)  Si multiplicamos la primera ecuación por d: d² = (x₂ - x₁)d cos xr + (y₂ - y₁)d cos yr + (z₂ - z₁)d cos zr y sustituimos los valores de d cos xr, d cos yr, d cos zr: d = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)² + 2(y₂ - y₁)((z₂ - z₁)cos yz + 2(z₂ - z₁)(x₂ - x₁)cos zx + 2(x₂ - x₁)(y

  Paralelismo Perpendicularidad Dos rectas a=a'; b=b' aa'-bb'+1 = 0 Recta plano Aa + Bb + C = 0 A/a= B/b=C/1 Dos planos A/A' = B/B' = C/C' AA'+BB'+CC'=0 Un cuadro resumen de las condiciones de paralelismo y perpendicularidad, explicadas en las anteriores entradas. En las siguientes, intentaré explicar el cálculo de distancias. Gracias por leer y seguir el blog.

 Dados los planos: Ax + By + Cz + D = 0 A'x + B'y + C'z + D' = 0 Sea 𝜑 el ángulo que forman los dos planos. Trazamos las perpendiculares por el origen a estos planos. Los cosenos directores de estas rectas son: (cos 𝛼, cos 𝛽, cos 𝛾) (cos 𝛼', cos 𝛽', cos 𝛾') y como cos 𝛼 = A/√(A²+B²+C²) cos 𝛽 = B/√(A²+B²+C²) cos 𝛾 = C/√(A²+B²+C²) Por lo tanto: cos 𝜑 = (AA' + BB' + CC')/√[(A²+B²+C²)(A'²+B'²+C'²)] sen 𝜑 = √[(AB'-BA')²+(BC'-CB')²+(CA'-C'A)²]/√((A²+B²+C²)(A'²+B'²+C'²) tg 𝜑 = ± √[(AB'-BA')²+(BC'-CB')²+(CA'-C'A)²]/(AA' + BB' + CC') Paralelismo y perpendicularidad Las condiciones de paralelismo son: AB' - BA' = 0 BC' - CB' = 0 CA' - AC' = 0 condiciones de paralelismo que nos da que los coeficientes de las variables de los planos deben ser proporcionales: A

 Dada la recta r: x = az + h y = bz + k y el plano 𝜋: 𝜋 ≡ Ax + By + Cz + D El ángulo formado por la recta y el plano será complementario al formado por la recta dada y la normal del plano. Si 𝛼, 𝛽 y 𝛾 son los ángulos que forma la recta dada con los ejes rectangulares y 𝛼', 𝛽', 𝛾' los que forman la normal al plano tendremos: cos 𝛼 = ±a/√(a²+b²+1) cos 𝛽 = ±b/√(a²+b²+1) cos 𝛾 = ±c/√(a²+b²+1) cos 𝛼' = ± A/√(A²+B²+C²) cos 𝛽' = ± B/√(A²+B²+C²) cos 𝛾' = ± C/√(A²+B²+C²) y como cos(𝜋/2 - 𝜑) = sen 𝜑 = cos 𝛼·cos 𝛼' + cos 𝛽·cos 𝛽' + cos 𝛾· cos 𝛾'. Si sustituimos, tendremos: sen 𝜑 = (Aa + Bb + Cc)/√[(a² + b² + 1)(A²+B²+C²)] cos 𝜑 = (√[(aB - bA)² + (aC-A)² +(bC -B)²]/√[(a² + b² + 1)(A²+B²+C²)] A partir de estos valores, podemos hallar la tangente de 𝜑. Paralelismo y perpendicularidad Si la recta es paralela al plano, 𝜑 = 0, y por tanto la condición  d

 Sean dos rectas cuyas ecuaciones referidas a ejes rectangulares tengan la forma: Recta 1: x = az + h y = bz + k Recta 2: x = a'z + h' y = b'z + k' Los cosenos directores de estas rectas serán: Cosenos directores recta 1: cos 𝛼 = ± a/√(a²+b²+1) cos 𝛽 = ± b/√(a²+b²+1) cos 𝛾 = ± 1/√(a²+b²+1) Cosenos directores recta 2: cos 𝛼' = ± a'/√(a'²+b'²+1) cos 𝛽' = ± b'/√(a'²+b'²+1) cos 𝛾' = ± 1/√(a'²+b'²+1) Si las dos rectas forman un ángulo 𝜑, éste vendrá dado por: cos 𝜑 = cos 𝛼 cos 𝛼' + cos 𝛽 cos 𝛽' + cos 𝛾 cos 𝛾' sabiendo que: v = cos 𝛼 i + cos 𝛽 j + cos 𝛾 k v' = cos 𝛼' i + cos 𝛽' j + cos 𝛾' k   v·v ' = vv'·cos 𝜑 v = v' = 1 Por lo que: cos 𝜑 = vv' Sustituyendo: cos 𝜑 = ± (aa' + bb' + 1)/√[(a²+b²+1)(a'² + b'² + 1)] y de aquí podemos deducir

 Veamos algunos ejemplos de lo explicado en la entrada anterior. Ejemplo 1 Determinar las posiciones de los planos: 2x + y - z = 0 3x -y +z + 5 = 0 4x +2y -2z + 1 = 0 Segundo plano: 2x -y + 3z +1 = 0 4x -2y + 6z +5 = 0 -2x +y -3z +7 = 0 Tercer plano: x+y-z +2 = 0 2x-y+3z+5 = 0 3x+2z +7 = 0 Solución Para el primer plano : Estudiemos el rango de las matrices: y  los tres planos carecen de puntos en común y son paralelos. Para el segundo plano : Volvemos a comprobar los rangos de las matrices: y Si observamos los coeficientes de las x, y, z, de los planos observamos que por ser proporcionales son paralelos. Para el tercer plano , volvemos a comprobar los rangos de las matrices (de los coeficientes y de la ampliada, al igual que en los otros casos), y vemos que ambos son iguales a 2, lo que indica que es un sistema compatible indeterminado y los planos tienen una recta común. Ejemp

 Para que tres planos se corten en una recta debe cumplirse: siendo ABC, A'B'C' y A''B''C'' los coeficientes de los planos: Ax + By + Cz + D = 0 A'x + B'y + C'z + D' = 0 A''x + B''y + C''z + D'' = 0 y además la matriz  debe tener rango 2. Y con ambas condiciones, los tres planos deben cortarse en una recta impropia o propia. También podemos tomar otro criterio, dados los planos: P₁ = 0 P₂ = 0 P₃ = 0 se cortarán en una recta si podemos encontrar tres números 𝛼, 𝛽, 𝛾 que verifiquen: 𝛼P₁ + 𝛽P₂  + 𝛾P₃ = 0 de modo que las coordenadas de un punto que satisfaga: P₁ = 0 P₂ = 0 hará también que P₃ = 0, y por tanto P₃ pasará por la intersección de los otros dos. Condición para que cuatro planos se corten en un punto P₁≡Ax + By + Cz +D = 0 P₂≡A'x + B'y + C'z +D' = 0 P₃≡A''x + B''y

 Dado un plano A'''x + B'''y + C'''z + D''' = 0, éste será incidente con los planos Ax + By + Cz + D = 0 A'x + B'y + C'z + D' = 0 A''x + B''y + C''z + D'' = 0 En el punto de incidencia si: 𝚫 = 0 y  Podemos expresarlo como: (A'''B'''C'''D''') = 𝜆(ABCD) + 𝜇(A'B'C'D') + v(A''B''C''D'') Si sustituimos en la ecuación del plano dado tendremos: 𝜆(Ax + By + Cz + D) + 𝜇(A'x + B'y + C'z + D') + v(A''x + B''y + C''z + D'') = 0 que es la radiación de planos cuya base es el punto de incidencia de los planos. Los parámetros 𝜆, 𝜇, v son las coordenadas homogéneas de los planos de radiación. Radiación impropia de planos Se designa así al conjunto de todos los planos que son paralelos a una

 Sea la recta x = az + h y = bz + k y el plano Ax + By + Cz + D = 0 Para determinar el punto de intersección resolveremos el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y nos queda: A(az + h) + B(bz +k) + Cz + D = 0 entonces:  z = (Ah + Bk +D)/(Aa+Bb+C) y = -b[(Ah + Bk +D)/(Aa+Bb+C)] + k x = -a[(Ah + Bk +D)/(Aa+Bb+C)] + h Se dan tres casos: Que se corten en un punto impropio, entonces: Aa + Bb + C ≠ 0 La recta y el plano son paralelos: Aa + Bb + C = 0 Ah + Bk + D ≠ 0 La recta está situada en el plano si se verifica que: Aa + Bb + C = 0 Ah + Bk + D = 0 Recta que pasa por un punto y es paralela a un plano Para hallar la recta paralela a un plano por un punto dado tendremos un problema indeterminado, pues sólo nos imponen tres condiciones. Si hay paralelismo, entonces hay una condición, y que pase por un punto, son dos condiciones; y para calcular los parámetros de la recta, que son cuatro, neces

 Dados un punto P(x₁, y₁, z₁) y la recta: x = az + h y = bz + k tendremos un haz de planos cuya arista será la recta y cuya ecuación: x - az - h +𝜆(y -bz - k) = 0 como el plano debe pasar por P(x₁, y₁, z₁), verificarán la ecuación anterior: x - az₁ - h +𝜆(y₁ -bz₁ - k) = 0 de donde obtendríamos 𝜆, y sustituyendo en la ecuación del haz: ( x - az - h)/( x - az₁ - h) = ( y -bz - k)/ (y₁ -bz₁ - k) para la recta de ecuación: x = my + p x = nz + q el plano: (x-my-p)/ (x₁-my₁-p) = (x -nz -q)/ (x₁ -nz₁ -q) En general, si la recta de intersección de los planos P = 0, P' = 0 y el punto  (x₁, y₁, z₁), la ecuación es: P/P₁ = P'/P'₁

 Dadas dos rectas en la ecuación de forma reducida: x = az + h y = bz + k y  x = a'z + h' y = b'z + k' Si ambas se cortan en un punto o son paralelas (a = a', b = b') se tiene un sistema de cuatro ecuaciones compatibles y la condición de compatibilidad se verifica al eliminar las incógnitas: (a -a')z + (h - h') = 0 (b - b')z + (k - k') = 0 Por lo que: (h-h')/(a-a') = (k - k')/(b-b') (1) Luego si tenemos dos rectas en su forma normal : (x-x₁)/p = (y-y₁)/q = (z - z₁)/r (x-x₂)/p' = (y-y₂)/q' = (z - z₂)/r' de estas ecuaciones obtendremos la condición para que estén en un plano: (x₁, y₁, z₁) => (x₁ + 𝜌p, y₁ + 𝜌q, z₁ + 𝜌r) (x₂, y₂, z₂) => (x₂ + 𝜌p', y₂ + 𝜌q', z₂ + 𝜌r') tenemos entonces Podemos restar la segunda fila de la primera fila, la primera de la tercera, y la segunda de la cuarta. Entonces nos quedaría: Si se ve

 Dados los planos Ax + By + Cz + D = 0 A'x + B'y + C'z + D' = 0 A''x + B''y + C''z + D'' = 0 tenemos las siguientes matrices, la matriz R y la matriz S: Si el rango de ambas matrices es 3, Rango(R) = Rango(S) = 3, el sistema tiene una sola solución y los planos forman un triedro. Si los rangos de R y S son diferentes, Rango(R) = 2, Rango(S) = 3 el sistema no tiene solución. Si AB' - A'B ≠ 0, entonces los dos planos se cortan según una recta paralela al tercer plano. Si el rango de ambos es igual a 2, Rango(R) = Rango(S) = 2 entonces, por ejemplo, (A'', B'', C'', D'') es combinación lineal de (A, B, C, D) y (A', B', C'. D'): (A'', B'', C'', D'') = 𝜆(A, B, C, D) + 𝜇(A', B', C'. D') Sustituyendo en A''x + B''y + C''z + D'' = 0, tenemos: A''x + B''y + C''z + D'' = 𝜆(Ax + By

 Dados planos: Ax + By + Cz + D = 0 A'x + B'y + C'z + D = 0 Tendremos dos matrices: y  Se pueden dar los siguientes casos: Si el rango de ambas matrices es el mismo e igual a 2, es decir, rango(R) = rango(S) = 2, tendremos dos planos distintos que definen una recta. Si los rangos de las matrices son distintos, rango(R) = 1, rango(S) = 2, el sistema no tiene solución, por lo que tenemos dos planos paralelos. Por lo tanto, las condiciones para que dos planos sean paralelos son: A/A' = B/B' = C/C' ≠ D/D'

 Plano que pasa por un punto El plano que pasa por un punto lo obtendremos partiendo de la ecuación general del plano: Ax + By + Cz + D = 0 Siendo P(x₁, y₁, z₁) un punto del plano que debe verificar: Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D = 0 Si restamos ambas ecuaciones: A(x - x₁) + B(y - y₁) + C(z - z₁) = 0 tenemos dos parámetros A/C, B/C, y representa la doble infinidad de planos que pasan por P₁, es decir, la radiación de centro P₁, Plano que pasa por dos puntos Si queremos que el plano pase por dos puntos P₁(x₁, y₁, z₁) y P₂(x₂, y₂, z₂), tendremos: Ax + By + Cz + D = 0 Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D = 0 Ax₂ + By₂ + Cz₂ + D = 0 Si eliminamos D y C: A(x - x₁) + B(y - y₁) + C(z - z₁) = 0 A(x₂ - x₁) + B(y₂ - y₁) + C(z₂ - z₁) = 0 A[ (x - x₁) (z₁ - z₂) -  (z - z₁) (x₁ - x₂)] + B[ (y - y₁) (z₁ - z₂) -  (z - z₁)(y₂ - y₁)] = 0 Ahora el parámetro es A/B y tenemos una ecuación indeterminada que representa el haz de planos de arista P₁ y P₂.

 Para la determinación de un plano necesitamos tres condiciones geométricas, ya que si en la ecuación Ax + By + Cz + D = 0 que tiene cuatro coeficientes A, B, C, D, dividimos por uno de ellos, quedan tres arbitrarios, por lo que necesitamos tres ecuaciones, y por lo tanto, tres condiciones. Para la forma ordinaria: z = mx + ny + h el plano depende de m, n, h. En la forma canónica, el plano depende de los segmentos a, b, c y para la forma hessiana tenemos cos 𝛼, cos 𝛽, cos 𝛾, y d, considerando los coeficientes arbitrarios: cos 𝛼/d, cos 𝛽/d, cos 𝛾/d como tenemos tres indeterminadas, necesitamos tres condiciones.

 Veamos algunos ejemplos sobre las posiciones de las rectas: Ejemplo 1 Determinar las posiciones de las rectas x = 1 + 2t y = -1 + 3t z = 3t y x = 3 + 4t y = 2 + 6t z = 1 + 2t Solución Determinaremos el rango de la siguiente matriz: rango(A) = 1, por lo que las rectas coinciden. Ejemplo 2 Determinar las posiciones de las rectas x = -2 + 2t y = 4 z = 3 - 6t y  x = 5 - t y = 6 z = 7 + 3t Procedemos como en el caso anterior, pero con la matriz de coeficientes de t: Pero el rango de: es distinto de 1. Entonces las rectas son paralelas y no coincidentes. NOTA: Si llegamos a obtener una matriz de rango 3, entonces dos rectas que se cruzan. Si necesitáis repasar algún concepto de matrices, rangos... podéis visitar mi otro blog de matemáticas aquí .

 Veamos algunas cosas más sobre las rectas. Radiación de rectas Para una base P₁ las ecuaciones de radiación de rectas son: (x-x₁)/𝜆 = (y-y₁)/𝜇 = (z-z₁)/v siendo (𝜆, 𝜇, v) parámetros llamados coordenadas homogéneas de las rectas en la radiación. Par de rectas  alabeado Dos rectas no coplanarias se cruzan o forman un par alabeado. Sean las rectas: (x-x₁)/p₁ = (y -y₁)/q₁ = (z - z₁)/r₁ (x-x₂)/p₂ = (y -y₂)/q₂ = (z - z₂)/r₂ y los vectores (p₁, q₁, r₁) y (p₂, q₂, r₂) tienen la misma dirección que su correspondientes rectas. Para formar un par alabeado debe cumplirse que estos dos vectores junto con (x₁ - x₂ , y₁ - y₂, z₁ - z₂) sean linealmente independientes. Paralelismo de rectas Para que dos rectas de la forma expresada en el apartado anterior sean paralelas debe cumplirse que: p₁/p₂ = q₁/q₂ = r₁/r₂ Radiación impropia de rectas Se define como todas las rectas del espacio paralelas a una recta dada cuya ecuación es