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 Sea Ω un conjunto no vacío y ℱ una clase, de subconjuntos de Ω. ℱ define en Ω una topología si dicha clase tiene las siguientes propiedades: El conjunto vacío y el total pertenecen a ℱ. La unión de cualquier número finito o infinito de conjuntos incluidos en ℱ es también un conjunto de ℱ. La intersección de cualquier número finito de conjuntos incluidos en ℱ es también un conjunto de ℱ. Decimos que Ω tiene, mediante ℱ estructura de espacio topológico. El par {Ω, ℱ} es una topología. Será topología discreta la que venga definida por: ℱ = {A / A ⊂  ℱ} Topología trivial es aquella que se define como: ℱ = {Ω, ∅} En un espacio topológico se llaman abiertos a los conjuntos incluidos en la clase ℱ que define la topología. Se define como cerrados a los complementarios de los abiertos. En aquellas topologías  en que Ω y ∅ son los únicos conjuntos que son a su vez abiertos y cerrados se dice que el espacio topológico es conexo. Debemos ten

 Sea C→R un conjunto cerrado y acotado de números reales y sea {A ⍺ }, una familia de conjuntos abiertos tales que: C ⊂ U ⍺ A ⍺ se puede entonces extraer una subfamilia finita de { A⍺} cuya unión incluye el conjunto C. Demostración Este teorema se demuestra siguiendo un procedimiento análogo al realizado en el Bolzano-Weierstrass. Esta propiedad de los conjuntos cerrados y acotados de R se llama compacidad. Ten en cuenta que el conjunto R no es compacto. A tener en cuenta: Un conjunto B ⊂ R se dice que admite un recubrimiento abierto si existe una familia de abiertos {A ⍺ } tal que B ⊂⋃ A⍺. Si B⊂ ⋃ A ⍺ y {A ꞵ } es una subfamilia de {A ⍺ }, de manera que    B ⊂⋃ A ⍺ entonces se dice que existe un subrecubrimiento. Un recubrimiento se dice que es finito si la familia {A ⍺ } que recubre es finita.

 Todo conjunto lineal acotado de infinitos puntos tiene al menos un punto de acumulación . Demostración   Consideramos un punto lineal acotado A que por ser acotado estará contenido en el intervalo [a, b], cuya amplitud será: d = |b - a| Dividiendo el intervalo [a, b] en dos partes iguales, tenemos que al menos en una de esas partes encontraremos infinitos puntos del conjunto A, la llamaremos [a₁ , b₁] y su amplitud: d₁ = d/2 Si subdividimos de nuevo en dos partes iguales, el intervalo [a, b] volveremos a encontrar un intervalo en el que hay infinitos puntos de A, [a₂, b₂] cuya amplitud: d₂ = d/2² si continuamos trabajando de manera análoga con [a₂, b₂] y los sucesivos intervalos que vayan apareciendo, obtendremos una sucesión de intervalos cerrados con infinitos puntos de A. Cada intervalo está contenido en el anterior, y si consideramos las amplitudes de los intervalos que aparecen: d, d/2, d/2²,d/2³,...,d/2ⁿ,.... Obse

 Si tenemos un subconjunto A del conjunto R, decimos que A está acotado superiormente si existe un número real K tal que ∀ a ∈ A ⇒ a ≤ K a dicho número K se le llama cota superior de A. Se dice que A está acotado inferiormente si existe un número real m tal que: ∀ a ∈ A ⇒ m ≤ a a dicho número m lo llamamos cota inferior del conjunto A. En definitiva, decimos que un subconjunto A de R está acotado cuando lo está superior e inferiormente. Definimos extremo superior de un conjunto A a la menor de las cotas superiores. Extremo inferior de un conjunto A es la mayor de las cotas inferiores. Teorema Los subconjuntos acotados y no vacíos de R poseen un extremo superior e inferior, siendo estos únicos. Los extremos superior e inferior de un conjunto A pueden pertenecer o no a dicho  conjunto. En el caso de que pertenezcan al extremo superior se llama máximo de A y al extremo inferior mínimo de A.

 Vamos a ver lo que es un conjunto complementario y un conjunto derivado. Un conjunto lineal de A se llama complementario de A y lo representamos por CA al conjunto R - A, donde R es el conjunto de los números reales. Como ya se ha explicado en esta entrada , llamamos conjunto o clausura, derivado de A y lo representamos por A' al conjunto formado por todos los puntos de acumulación del conjunto lineal A. De todo lo anterior, se puede deducir: La intersección de un número finito de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. La unión de cualquier número finito o infinito de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. La intersección de un número finito o infinito de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado. La unión de un número finito de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado. Todo conjunto lineal cerrado A contiene a todos sus puntos de acumulación. El complementario de un conjunto abierto es un conjunto cerrado.

 Teorema del punto de acumulación Sea A un subconjunto de la recta real R y x₀ un número real que puede pertenecer o no al conjunto A, decimos que x₀ es un punto de acumulación de A cuando todo entorno reducido de x₀ contiene puntos de A. x₀ punto de acumulación ⇔ ∀ E*(x₀, ẟ), E*(x₀, ẟ)⋃A ≠ ∅ Cualquier entorno de un punto de acumulación contiene infinitos puntos del conjunto A. En efecto, si existiera un entorno reducido de x₀ que solo tuviera un número finito de puntos de A, habría uno de ellos que distaría de x₀ una distancia menor que los demás (𝜖), en el entorno (x₀ - 𝜖, x₀ + 𝜖) no habría puntos de A, luego x₀ no sería punto de acumulación. La condición necesaria y suficiente para que A subconjunto de R sea un conjunto cerrado es que contenga a todos sus puntos de acumulación. Condición necesaria: si suponemos  que A es un conjunto cerrado y x₀ es un punto de acumulación de A. Si x₀ no pertenece al conjunt

 Sea A un subconjunto de la recta real R. Decimos que x₀ es un punto interior del subconjunto A si existe un entorno E(x₀, δ) del punto x₀ totalmente contenido en A. x₀ punto interior de A ↔ ∃  E(x₀, δ) ⊂ A Un subconjunto de A de R decimos que es un conjunto abierto cuando todos sus puntos son interiores. A abierto ⇔ ∀ x ∈ A, x es un punto interior Decimos que un subconjunto A de R es un conjunto cerrado cuando el conjunto complementario A c es un conjunto abierto. A cerrado ⇔ A c abierto

 Postulado de Cantor Una sucesión de intervalos encajados donde la sucesión formada por las amplitudes de cada uno de ellos bₙ - aₙ tiende a cero, define un único punto que pertenece a todos los intervalos de la sucesión.  Entornos de un punto Se llama entorno simétrico del punto x₀ y de radio ẟ, y se denota por E(x₀, ẟ) al conjunto de números reales mayores que x₀ - ẟ y menores que  x₀ + ẟ. E(x₀, ẟ) = {x ∈ R/ x₀ - ẟ < x < x₀ + ẟ} = (x₀ - ẟ, x₀ + ẟ) E(x₀, ẟ) = {x ∈ R/ x - x₀ < ẟ} Entorno reducido Representamos por E* (x₀, ẟ) al entorno  reducido del punto x₀ y radio ẟ que se define como el conjunto de todos los puntos del entorno  E(x₀, ẟ), exceptuando el punto x₀.  E* (x₀, ẟ) = E(x₀ - ẟ) - {x₀} Entorno a la derecha Representamos por E + (x₀, ẟ) al entorno a la derecha del punto x₀ y radio ẟ que se define como el conjunto de todos los números reales mayores que x₀ y menores que x₀ + ẟ. Entorno a la

 El orden en la recta real Decimos que un conjunto A está ordenado cuando en él se ha establecido una relación de orden. Dentro del conjunto de los números reales R se define la relación binaria: a≤b ∃x∈ R + ⋃{0} tal que a + x = b Esta relación es de orden total ya que si a y b son elementos de R se tiene que a ≤ b o b ≤ a. Intervalos en la recta real Definimos en la recta real como intervalo abierto de extremos a y b , y designado como (a, b) al conjunto de los números reales mayores que a y menores que b. (a, b) = {x ∈ R / a < x < b} Intervalo cerrado de extremos a y b y designado por [a, b] al conjunto de números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b. [a, b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤b} Intervalo semiabierto de extremos a y b y designado por (a, b] o [a, b) al conjunto de números reales comprendidos entre los dos extremos y que comprende solamente a uno de ellos. (a, b] = {x ∈ R / a < x ≤ b} [a

 Sea x un número real (x ∈ R), definimos el valor absoluto como sigue: |x| = x si x≥0 |x| = - x si x < 0 El valor absoluto de un número real viene representado por la notación: |x| Propiedades del valor absoluto |a| = |-a|. El valor absoluto no depende de su signo. El valor absoluto de un producto es el producto de valores absolutos: |a·b| = |a|·|b|. Dado un número real c > 0; |a| ≤ c ⇔ -c ≤ a ≤ c. -|a| ≤ a ≤|a| El valor absoluto de la suma de números reales es menor o igual a la suma de valores absolutos de dichos números: |a + b| ≤ |a| + |b|. Si a ≠ 0, |a·a -1 | = 1 = |a|·|a -1 | ||a| - |b|| ≤ |a - b| ≤ |a| + |b|

 Definición de recta real Se define como un conjunto innumerable e infinito de números que constituyen un cuerpo ordenado y completo. Constituye un cuerpo por ser una terna de un conjunto con dos operaciones que verifica las siguientes propiedades: Es un anillo . Es conmutativo Unitario. Dominio. Recta real ampliada Se llama recta real ampliada o completada y se representa por R = {R⋃{+∞}⋃{-∞} verificando que ∀ x ∈ R, {-∞ < x < ∞}. La recta real ampliada ya no es un cuerpo, pues definimos las siguientes operaciones respecto a la suma: x + {+ ∞} = {+ ∞} + x = {+ ∞} x - {+ ∞} = {- ∞} x - {- ∞} = {+ ∞} {+ ∞} +  {+ ∞} =  {+ ∞} {- ∞} +  {- ∞} =  {- ∞} {- ∞} -  {+ ∞} =  {- ∞} pero no podemos calcular: {+∞} - {+∞} Por otra el parte para el producto: definimos las operaciones: ∀ x > 0, tenemos:

 Ejercicio 1 Tenemos que resolver la ecuación x⁶ - 1 = 0, obteniendo las 6 raíces. Tenemos que: x⁶ - 1 = 0 => x⁶ = 1 Por tanto: x = (1) ⅙ Por lo tanto, tenemos que: 1 = 1 + 0i Ahora hallamos las seis soluciones. Para k = 0 1 (0 + 2·0·𝜋)/6 = 1 0º Para k = 1 1 (0 + 2·1·𝜋)/6 = 1 𝜋/3 Para k = 2: 1 (0 + 2·2·𝜋)/6 = 1 2𝜋/3 Para k = 3 1 (0 + 2·3·𝜋)/6 = 1 𝜋 Para k = 4 1 (0 + 2·4·𝜋)/6 = 1 4𝜋/3 Para k = 5 1 (0 + 2·5·𝜋)/6 = 1 5𝜋/3 Ejercicio 2 Hallar la transformada del complejo z definida por: w = 4/(z + 1)², con |z| = 1 Sea z = e i⍺ Por tanto: w = 4/(e i⍺ + 1)² = 4·e -i⍺ /( e i⍺/2 +  e -i⍺/2 )² = (cos ⍺ - i·sen ⍺)/(cos² ⍺/2) = u + vi Por tanto, u = (cos ⍺)/(cos² (⍺/2)), v = -sen ⍺/(cos² (⍺/2)). Se verifica que: √(u² + v²) = 1/(cos² ⍺/2), de donde se deduce: u = (2cos² (⍺/2)  - 1)/(cos² (⍺/2)) = √(u² + v²)·(2/√(u² + v²) - 1) = 2 - √(u² + v²)  Es decir, la transformada es

 Ejercicio 1 Expresar en forma binómica y cartesiana y representar el producto de los complejos 6 720º y 2 180º . 6 720º ·2 180º = (6·2) 900º = 12(cos 900º + sen900º·i) Ahora tenemos que calcular el valor del seno y coseno de 900º. Como ya se ve, un ángulo de 900º implica que ha dado más de una vuelta completa a la circunferencia, esto se calcula dividiendo por 360º (1 vuelta de circunferencia). 900º:360º = 2 vueltas completas y de resto 180º. 900 = 2·360º + 180º => sen 900º = sen 180º, cos 900º = cos 180º. Sustituimos estos valores en la expresión trigonométrica, quedando: 12 900º = 12·(cos 900º + sen 900º·i) = 12·(-1 + 0i) = -12 + 0i = (12, 0). Por lo tanto: Expresión binómica: (-12 + 0i) Expresión cartesiana: (-12, 0) Ejercicio 2 Encontrar el complejo resultante de dividir (2 - √3·i) entre √3·i, expresándolo en forma binómica y cartesiana. (2 - √3·i) /√3·i Hay

 Esta transformación es bastante común. La función inversa La transformación es w = 1/z o su equivalente z = 1/w. Esta transformación permite establecer una correspondencia punto a punto excepto para w = 0, y para z = 0. En f orma módulo argumental si z = r·e i𝛩 , y w = 𝜌·e iφ , se verifica: 𝜌·e iφ = (1/r)·e -i𝛩 transformación que puede descomponerse en dos: z' = (1/r) · e i𝛩 y w = z' Geométricamente, la primera representa una inversión respecto a la circunferencia de centro el origen y radio unidad. La segunda, una simetría respecto al eje real. Si la transformación hubiese resultado de la forma w = a/z, se obtendría el mismo resultado, solo que una circunferencia de radio a. Como ejemplo se tiene que la región exterior a la circunferencia de radio unidad se transforma en el conjunto de puntos interiores a la circunferencia y viceversa. En forma binómica: w = u + vi = 1/(x + yi)

 Transformación W = BZ + C Como composición de las dos anteriores, la transformación W = BZ + C representa un giro de magnitud igual al argumento de B y una homotecia de razón |B|, seguida de una traslación igual a C. Ejemplos Sea W = iz, siendo z = x + yi y w = u + vi. La banda 0<x<1 del plano z se transforma en la banda 0<V<1 del plano w, ya que se trata sencillamente de un giro de magnitud 𝜋/2. Sea W = (1 + i)·z + 2 - i y la región del plano z limitada por los ejes coordenados y por rectas paralelas a los mismos trazadas por el punto (1, 2). La transformación da un nuevo rectángulo obtenido: Por un giro alrededor del origen de amplitud arg(1 + i) = 𝜋/4. Una dilatación de magnitud |1 + i| = √2. Una traslación representada por el vector de componentes (2, -1). Función potencial La transformación es w = z n , y como caso particular w = z². Sea z = r·

 Transformación w = z + c En este caso si z es una constante compleja, la transformación queda representada geométricamente por una traslación de magnitud igual al vector c. Sea c = a + bi, resulta que z = x + yi se transforma en w = u + vi, siendo u = x + a, y v = x + b. Es decir, toda curva se transforma en la misma curva trasladada  y una región en la misma región trasladada. Transformación w = BZ B es un número complejo constante. Sea B = b·e i𝜌 , entonces el afijo de z = r·e iθ se transforma en: W = Bz = b·r·e i( θ +  𝜌) es decir, la transformación consiste en una rotación del radio vector del punto z, alrededor del origen, y una dilatación o contracción del radio vector b = |B|. O sea, que una curva o una región se transforma en la curva o región homotética, de razón |B|, girada en ángulo 𝜌. Caso particular Dado un número complejo z = x + yi, si lo multiplicamos por i resulta: i·z = i(x + yi) = xi + yi² = xi -

 Las propiedades de una función real se ponen de manifiesto geométricamente por la gráfica de la función, curva o superficie según se trate de una función de una variable, y = f(x), o de dos, z = f(x, y). Cuando se trata de la función w = f(z), siendo w y z variables complejas no se dispone de una representación gráfica tan convincente, puesto que se necesita un plano para representar cada una de las variables, estableciéndose una correspondencia entre los afijos de w y z, o lo que es lo mismo si z = x + yi, y w = u + vi, entre los puntos (x, y) y (u, v). A esta correspondencia entre puntos de los planos se llama transformación de puntos del plano Z en el plano W. Los puntos correspondientes se llaman imágenes uno de otro. La transformación de curvas y regiones da normalmente más información de la función que la transformación entre puntos aislados. Ejemplo Sea la función W = |z| - iy = √(x²+y²) - iy en la que el afijo de z describe la circunf

 Siendo z ∈ C y μ ∈ C. z n = v, e Ln v = e μLn z Si z = a + bi, μ = p + qi: v = e (p + qi)Ln z = e (p + qi)[Ln (√(a² + b²) + (cotg (b/a) + 2K𝜋)i] Caso particular Siendo μ = a (número natural), μ = a₀ z = 𝜌 𝛼 z a = v = e a[Ln 𝜌 +  2K𝜋i] = 𝜌 a [cos a𝛼 + i·sen a𝛼]

Si  Ln μ = Z, entonces e z = μ, siendo z un número complejo z = x + yi; por lo que e x+yi = μ, siendo μ por ejemplo otro complejo. Demostración e x+yi = 𝜌·(cos ⍺ + i·sen ⍺) e x = 𝜌, x =Ln 𝜌 y = ⍺ + 2K𝜋 Por lo que: z = Ln 𝜌 + (⍺ + 2K𝜋)i Es decir, el logaritmo neperiano de un número complejo es otro complejo que tiene por parte real el logaritmo neperiano del módulo y por parte imaginaria el argumento  ⍺ + 2K𝜋, o sea, existen en el campo complejo infinitos logaritmos, todos ellos con la misma parte real y difieren en la parte imaginaria en 2𝜋 el uno del otro . Por tanto, geométricamente estarán en una recta paralela al eje imaginario de abscisas x = Ln  𝜌. Se llama valor principal del logaritmo al valor K tal que: K = Ln 𝜌 + ⍺i Caso particular Reales negativos en el campo complejo Sabemos que en el campo real no tienen logaritmo los reales negativos. Vamos a verlo en el conjunto C