Puntos de un conjunto lineal

 Teorema del punto de acumulación

Sea A un subconjunto de la recta real R y x₀ un número real que puede pertenecer o no al conjunto A, decimos que x₀ es un punto de acumulación de A cuando todo entorno reducido de x₀ contiene puntos de A.

x₀ punto de acumulación ⇔ ∀ E*(x₀, ẟ), E*(x₀, ẟ)⋃A ≠ ∅

Cualquier entorno de un punto de acumulación contiene infinitos puntos del conjunto A.

En efecto, si existiera un entorno reducido de x₀ que solo tuviera un número finito de puntos de A, habría uno de ellos que distaría de x₀ una distancia menor que los demás (𝜖), en el entorno (x₀ - 𝜖, x₀ + 𝜖) no habría puntos de A, luego x₀ no sería punto de acumulación.

La condición necesaria y suficiente para que A subconjunto de R sea un conjunto cerrado es que contenga a todos sus puntos de acumulación.
  1. Condición necesaria: si suponemos  que A es un conjunto cerrado y x₀ es un punto de acumulación de A. Si x₀ no pertenece al conjunto A, entonces pertenece a Ac, siendo Ac abierto, y x₀ un punto interior de Ac ⇒∃E(x₀, ẟ) contenido en A, lo que contradice la hipótesis de que todos los entornos reducidos de x₀ tienen algún punto en común con A, luego xٖ₀ pertenece a A.
  2. Condición suficiente: si A contiene todos los puntos de acumulación, existiría un punto x₀ de Ac que no es interior de Ac, ningún entorno de x₀ está totalmente contenido en Ac.
Todos los entornos del punto x₀, E(x₀, ẟ) tienen puntos de A, luego x₀ es un punto de acumulación de A, por lo que x₀ pertenece a A y contradice la hipótesis de que x₀ pertenece a Ac.

Punto interior

Recuerda lo explicado en esta entrada.

Decimos que x₀ es un punto interior de A, si existe un entorno de x₀ tal que todos sus puntos pertenecen a A.

El conjunto de puntos interiores de A se llama interior de A.

Punto aislado

Se dice que x₀ es un punto aislado de A, si existe un entorno reducido de x₀ cuyos puntos no pertenecen a A.

Punto adherente

Un punto x₀ es un punto adherente del conjunto lineal A si en todo entorno de x₀ hay puntos de A. Si x₀ pertenece a E es un punto adherente. Si x₀ no pertenece a E y es adherente tiene que ser punto de acumulación. Luego los puntos adherentes de E son todos los puntos de E más todos sus puntos de acumulación.

Se llama cierre o adherencia de un conjunto A y por A al conjunto:

A = A ⋃A'

Comentarios

Publicar un comentario

Puedes dejar tus comentarios, sugerencias o dudas.

Entradas populares de este blog

Cálculo de la característica y de la mantisa

 Cálculo de la característica Todo número está comprendido entre dos potencias; la característica será el exponente de la menor de las dos potencias. Por ejemplo, sea el número 73. 73 es menor que 100, pero mayor que 10. 10¹<73<10² La característica de 10 es 1 y su mantisa es 0. La característica de 100 es 2 y su mantisa es 0. El logaritmo de 73 no podrá llegar a 2 pero tendrá que ser mayor que 1. 1<log 73 <2 log73 = 1,.... Sea ahora el número 0,0007. En este caso, el número es mayor que 0,0001 y menor que 0,001 0,0001 < 0,0007 < 0,001 10 -4 <0,0007<10 -3 Nuestro número tendrá por tanto un logaritmo comprendido entre -4 y -3: -4 < log 0,0007<-3 log 0,0007 = -4..... La mantisa de un logaritmo es siempre positiva; por ello cuando la característica es negativa se señala colocando encima de ella un signo negativo: log 0,0007
Leer más

Fórmula de aproximación de Taylor

 Polinomios de Taylor Dado el polinomio P(x) de grado n y un x = x₀ queremos ordenarlo en potencias de (x-x₀). Es decir: P(x) = a₀ + a₁(x-x₀)+a₂(x-x₀)²+...+aₙ(x-x₀)ⁿ O sea, tenemos que calcular los coeficientes a₀, a₁, a₂,..., aₙ, pero no lo haremos aplicando las divisiones sucesivas de la Regla de Ruffini, sino por derivación . Los coeficientes se determinan del siguiente modo: P(x₀) = a₀ Derivamos el polinomio sucesivamente: P'(x) = a₁ + 2a₂·(x-x₀) + 3·a₃·(x-x₀)²+...+n·aₙ·(x-x₀) n-1 P''(x) = 2a₂ + 6a₃·(x-x₀) + ...+n(n-1)·aₙ·(x-x₀) n-2 .......................................................................................................... P (n (x) = n!·aₙ Si lo particularizamos en el punto x₀ tenemos: P'(x₀) = a₁ P''(x₀) = 2!·a₂ P'''(x₀) = 3!·a₃ ..............................................................................
Leer más

Formas de representar la recta (1)

 Tenemos varias formas de representar la recta: Forma normal Si en las ecuaciones paramétricas, explicadas en la entrada anterior , eliminamos 𝜌: (x-x₁)/p = (y - y₁)/q = (z - z₁)/r que es la ecuación normal o continua de la recta. Si lo referimos a ejes rectangulares: p = cos 𝛼, q = cos ꞵ, r = cos 𝛾 y por tanto: (x - x₁)/ cos 𝛼 = (y - y₁)/cos ꞵ = (z - z₁)/cos 𝛾 siendo 𝛼, ꞵ, 𝛾 los ángulos que forma la recta con los ejes coordenados. Tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales en el cual, si conocemos la razón común, 𝜌, obtendríamos las tres ecuaciones paramétricas que dan las coordenadas x, y, z de todos los puntos que pertenecen a la recta. Forma ordinaria Podemos definir la línea recta como la intersección de los dos planos proyectantes sobre los planos xz y yz. Tendremos entonces el sistema: x = az + h y = bz + k que es la forma ordinaria de la recta y que se ve que: (x - h)/a = z, así como (y - k)/b = z Luego: (x - h)/a = (y - k)/b = (z - 0)/1 que es la forma normal de la
Leer más