Teorema de Borel-Lebesgue. Compacidad

 Sea C→R un conjunto cerrado y acotado de números reales y sea {A_⍺}, una familia de conjuntos abiertos tales que:

C ⊂ U_⍺A_⍺

se puede entonces extraer una subfamilia finita de {A⍺} cuya unión incluye el conjunto C.

Demostración

Este teorema se demuestra siguiendo un procedimiento análogo al realizado en el Bolzano-Weierstrass.

Esta propiedad de los conjuntos cerrados y acotados de R se llama compacidad. Ten en cuenta que el conjunto R no es compacto.

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A tener en cuenta:

• Un conjunto B ⊂ R se dice que admite un recubrimiento abierto si existe una familia de abiertos {A_⍺} tal que B ⊂⋃ A⍺.
• Si B⊂⋃ A_⍺ y {A_ꞵ} es una subfamilia de {A_⍺}, de manera que  B ⊂⋃ A_⍺ entonces se dice que existe un subrecubrimiento.
• Un recubrimiento se dice que es finito si la familia {A_⍺} que recubre es finita.