Teorema de Bolzano-Weierstrass

 Todo conjunto lineal acotado de infinitos puntos tiene al menos un punto de acumulación.

Demostración 

Consideramos un punto lineal acotado A que por ser acotado estará contenido en el intervalo [a, b], cuya amplitud será:

d = |b - a|

Dividiendo el intervalo [a, b] en dos partes iguales, tenemos que al menos en una de esas partes encontraremos infinitos puntos del conjunto A, la llamaremos [a₁ , b₁] y su amplitud:

d₁ = d/2

Si subdividimos de nuevo en dos partes iguales, el intervalo [a, b] volveremos a encontrar un intervalo en el que hay infinitos puntos de A, [a₂, b₂] cuya amplitud:

d₂ = d/2²

si continuamos trabajando de manera análoga con [a₂, b₂] y los sucesivos intervalos que vayan apareciendo, obtendremos una sucesión de intervalos cerrados con infinitos puntos de A. Cada intervalo está contenido en el anterior, y si consideramos las amplitudes de los intervalos que aparecen:

d, d/2, d/2²,d/2³,...,d/2ⁿ,....

Observamos que tienden a cero. Por y ello, y de acuerdo con la proposición de Cantor, esta sucesión de intervalos nos está definiendo un número real o un punto que está contenido en todos ellos.

Entonces, cualquier entorno (⍺˗𝜖, ⍺+𝜖) del punto P, siendo ⍺ un número real, contendrá todos los intervalos desde [a1,b1] en adelante, donde [an, bn] → 0.

Por lo tanto, en el entorno de P hay infinitos puntos del conjunto A, y por ello P es un punto de acumulación de A.

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