La recta real

 Definición de recta real

Se define como un conjunto innumerable e infinito de números que constituyen un cuerpo ordenado y completo. Constituye un cuerpo por ser una terna de un conjunto con dos operaciones que verifica las siguientes propiedades:

• Es un anillo.
• Es conmutativo
• Unitario.
• Dominio.

Recta real ampliada

Se llama recta real ampliada o completada y se representa por R = {R⋃{+∞}⋃{-∞} verificando que ∀ x ∈ R, {-∞ < x < ∞}. La recta real ampliada ya no es un cuerpo, pues definimos las siguientes operaciones respecto a la suma:

• x + {+∞} = {+∞} + x = {+∞}
• x - {+∞} = {-∞}
• x - {-∞} = {+∞}
• {+∞} + {+∞} = {+∞}
• {-∞} + {-∞} = {-∞}
• {-∞} - {+∞} = {-∞}

pero no podemos calcular:

{+∞} - {+∞}

Por otra el parte para el producto: definimos las operaciones:

∀ x > 0, tenemos:

• x·{+∞} = {+∞}·x = {+∞}
• x·{-∞} = {-∞}·x = {-∞}

∀ x < 0, tenemos:

• x·{+∞} = {+∞}·x = {-∞}
• x·{-∞} = {-∞}·x = {+∞}

Y además:

• {+∞}·{+∞} = {+∞}
• {+∞}·{-∞} = {-∞}·{+∞} = {-∞}

El orden en la recta ampliada es total.