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 Cuando la función subintegral f(x) de la integral definida en el intervalo [a, b] de f(x) no está acotada en un entorno del extremo inferior, y tiene una función primitiva F(x) en el intervalo [a, b], entonces: Suponiendo que f(x) es acotada e integrable en el intervalo [a + 𝜀, b] y si la función F(x) es continua a la derecha en a, podemos escribir, cuando 𝜀 tiende a cero: que constituye generalización de la regla de Barrow . Cuando la función f(x) no está acotada en un entorno del extremo superior de integración, si existe una primitiva F(x) de la función f(x) en [a, b] y que sea continua a la izquierda en b, entonces podemos escribir:

 La integral de Riemann se ha definido en el intervalo [a, b] y para funciones acotadas. A continuación, vamos a generalizar la integral de Riemann para funciones no acotadas y para intervalos no acotados. Integral de funciones no acotadas en un intervalo Sea [a, b] un intervalo acotado y consideramos funciones f(x) reales definidas en (a, b) y no acotadas en un intervalo (a, a+𝜀), pero que sean acotadas e integrables en (a+𝜀, b). La función f(x) se dirá integrable en [a, b] si existe en R el límite: y escribiremos: y si existe el límite, diremos que la integral es convergente. Diremos asimismo que la integral es convergente cuando la función f(x) no está acotada en el intervalo (b-𝜖, b) pero si en el (a, b-𝜀), entonces f es integrable en R si cuando 𝜖 tiende a 0⁺: Si la función no está acotada en los dos extremos: Diremos entonces que f(x) es integrable si existe en R el

 Método de Simpson Hasta ahora, en los métodos de aproximación anteriores de la función integral era sustituida por otra función de carácter lineal, pero en este caso la función se la sustituye por arcos de parábola cuadrática y cúbica (funciones de 2º y 3º grado) que coincide con ella en tres puntos (extremos y un punto medio del intervalo). Estamos sustituyendo la curva por una parábola. F(x) = a + bx + cx² Considerando que trasladamos el eje OY al punto medio de la b: y como: F(-h) = a₀ - a₁h + a₂h² F(h) = a₀ + a₁h + a₂h² F(0) = a₀ Sabiendo por física que la fuerza es directamente proporcional podemos escribir: A = h/3[F(-h) + 4·F(0) + F(h)] luego: Área = h/3[y₀+4y₁+y₂+y₂+4y₃+y₄+...+y n-2 + 4y n-1 + yₙ] = h/3[E + 4I + 2P] E = La suma de las ordenadas extremos. I = La suma de ordenadas de índice impar. P = La suma de las ordenadas de índice par.

 Ya hemos visto que dada analíticamente una función podemos calcular la integral definida en el intervalo [a, b]. Pero en la Física y en otras ciencias tenemos que integrar funciones de las que no se conoce su expresión analítica y solamente conocemos una tabla de valores correspondientes de x e y, o una curva representativa obtenida experimentalmente. Para estos casos, existen métodos aproximados numéricos, gráficos y mecánicos para obtener el valor de la integral. Método de los rectángulos Ya ha sido visto cuando hemos estudiado la integral de Riemann. El valor de la integral estará estará entre las sumas de las áreas de los rectángulos superiores y la de los inferiores y se aproximará cada vez más a medida que aumentamos la partición. Método de los trapecios Suponemos una función cuya integral definida queremos calcular por el método aproximado de los trapecios. Para ello sustituimos la función en la integral definida en el intervalo [a, b]

 Fórmulas de Wallis La fórmula de Wallis es una expresión matemática que proporciona una aproximación al valor de 𝜋 (la constante matemática que representa la relación entre el diámetro y la circunferencia del círculo). La fórmula de Wallis se presenta de la siguiente manera: 𝜋≈(2/1)·(2/3)·(4/3)·(4/5)·(6/5)·(6/7)·(8/7)... Este resultado se obtiene de la siguiente integral: Puedes intentar resolverla integrando por partes, tomando u = sen m-1 x, dv = sen x dx. Al resolverla, debes tener en cuenta si m es par o impar. No voy a entrar en detalles sobre esta integral, ya que esta entrada trata de explicar las aplicaciones de la integral definida. Si queréis estudiar este tema con mayor profundidad, podéis dejar vuestros comentarios. Fórmula de Stirling La fórmula de Stirling es un resultado asintótico que aproxima el factorial de un número natural grande n. La aproximación de Stirling se expresa de la

 Veamos algunas aplicaciones de la integral definida en este campo. Estudio del movimiento uniforme Sabemos que el movimiento uniforme es aquel cuya velocidad es constante. Sabemos también que: v = de/dt Despejando: de = v·dt para t = 0, e = e₀. Integrando: Integrando y sustituyendo valores: e - e₀ = vt de donde: e = e₀ + vt que como vemos es la ecuación del espacio del movimiento uniforme. Estudio del movimiento uniformemente acelerado Sabemos que el movimiento uniformemente acelerado es aquel cuya aceleración es constante, como: a = dv/dt => dv = a·dt Integrando: Tenemos que: v - v₀ = at => v = v₀ + at Además, podemos calcular el espacio sin más que sustituir V por su valor: Obtenemos (integrando y sustituyendo valores):

 Calcular el volumen de un cono recto de altura h y radio de la base r. Resolución Si en un sistema cartesiano se dibuja un triángulo de vértices (0, 0) y (h, r), al hacer girar sobre el eje OX la recta determinada por (0, 0) y (h, r) se genera un cono de altura h y radio de la base r. La ecuación de la recta que pasa por (0, 0) y (h, r) es y - 0 = [(r - 0)/(h -0)](x - 0); y = (r/h)·x       Entonces: [f(x)]² = y²= (r²/h²)·x² El volumen del cono es entonces:     Integrando y sustituyendo valores: [(𝜋r²/h²)·x³/3]₀³ = (1/3)·𝜋r²h

 Dada una función continua y = f(x), positiva definida en un intervalo [a, b], al hacer girar la gráfica alrededor del eje de abscisas, genera un cuerpo en el espacio llamado de revolución. Al cortar por un plano perpendicular al eje de abscisas por un punto x, la sección que aparece es un círculo de radio f(x), por lo que su área es: A(x) = 𝜋[f(x)]² Según lo estudiado en el apartado anterior , el volumen del cuerpo es: Ejemplo Vamos a calcular el volumen de una esfera de radio r. Resolución Al hacer girar un cuarto de circunferencia, de centro en el origen de coordenadas y radio r, alrededor del eje de abscisas, se genera una semiesfera. El volumen de la esfera será el doble del volumen de la semiesfera. La ecuación de la circunferencia es x²+y² = r². Despejando y², tenemos que y² = r²-x², [f(x)]² = y² = r² - x². El volumen de la esfera es entonces: Por lo tanto, calculando la integral y sustituyendo por los valores de los extremos: 2𝜋[r²x - x³/3]₀³ = 2𝜋(r³ - r³/3) = (4/3)𝜋r³

 Sea un sólido cualquiera en el espacio de volumen V, e imaginemos una recta L con un punto de referencia O que corte longitudinalmente al sólido. Se supone, por, último, que el sólido está completamente contenido entre dos puntos de la recta que distan, respectivamente,  a y b unidades de longitud del punto O. Elegido un punto cualquiera x del intervalo [a, b], se hace pasar un plano perpendicular a la recta L por el punto x. Se llamará V(x) al volumen de la parte del sólido comprendido entre a y x; y A(x) al área de la sección que produce el plano en el sólido. En estas condiciones, creo que está claro V(a) = 0 y V(b) = V. Tomado otro punto L, x + h, muy próximo a x, V(x+h) - V(x) es el volumen de un cilindro de base A(x) y altura h, y por consiguiente su volumen es A(x)·h. Se debe observar, de una manera intuitiva, que la función A(x), es continua, puesto que al tomar h infinitamente pequeño, x + h está muy próximo a x y, por consiguiente,  A(x + h) es prácticamente igual a A(x). E

 Vamos a suponer una circunferencia de centro (0, 0) y radio r (para simplificar cálculos). x² + y² = r² => y ±√(r² - x²) Para una mayor comodidad, y sin que ello afecte a la resolución del problema, se calculará el área del cuarto del círculo situado en el primer cuadrante. El área total será cuatro veces el área anterior. Por otro lado, la ecuación del cuarto de circunferencia en el primer cuadrante es y = √(r²-x²) pues la ordenanza es positiva en el primer cuadrante. De todo lo dicho, podemos deducir que el área del círculo es: Para resolver esta integral, se hace el cambio de variable: x = rsent, dx = r·cos t dt Los nuevos límites de integración se obtienen como sigue: Si x = 0, r·sent = 0. Como r ≠ 0, sen t = 0 => t = 0. Si x = r, r = r·sen t => sen t = 1 => t = 𝜋/2 Así pues, el área se puede calcular: Recordando que cos²t = 1 - sen²t y que cos²t = (1 + cos 2t)/2, obtenemos, tras sustituir y operar: Realizando la integral y calculando los valores con los límites de in

 Si en un intervalo (a, b) dos funciones f(x) y g(x) cumplen que f(x) ≥ g(x), entonces: representa el área de la superficie que encierra las dos curvas. Para calcular el área encerrada por dos curvas se han de seguir, primeramente, estos pasos: Se trazan las curvas. Se señalan los puntos en que se cortan las curvas. Se determina la zona de la que hay que calcular el área. Dependiendo de los resultados que se obtengan en los tres puntos anteriores, se procede a calcular las áreas de distintas zonas, entre los límites de integración apropiados Ejemplo Hallar el área de la superficie que determinan las curvas f(x) = 4x - x² y g(x) = x. Resolución Trazado de curvas Cortes de f(x) con el eje de abscisas: 4x - x² = 0, obtenemos resolviendo la ecuación los valores x = 0 y x = 4, es decir, los puntos de corte son: (0, 0) y (4, 0). Máximos y mínimos de f(x): f'(x) = 4 - 2x = 0 => x = 2 → Punto (2, 4). f''(x) = -2 <0 => máximo en (2, 4). Puntos de corte entre las dos curvas

 Si y = f(x) es una función continua en el intervalo [a, b] y F(x) es una función definida en [a, b], derivable y primitiva de f(x), es decir, F'(x) = f(x) para cualquier x ∈ (a, b), entonces: Este resultado es conocido por la segunda parte del Teorema Fundamental del Cálculo. Hay que darse cuenta de que para resolver una integral definida de una función continua, basta con encontrar una primitiva de la función, sustituir en ella los límites de integración superior e inferior respectivamente y restar ambos valores. Claro es que, aunque la regla de Barrow dé un método para el cálculo de integrales definidas, no siempre es fácil encontrar las primitivas de una función. Conviene observar también que como F(b) - F(a) es un número, es decir, no depende de la variable x, y que si F(x) es primitiva de f(x), F(t) es una primitiva de f(t), F(u) es una primitiva de f(u), etc. Ejemplo Tenemos que calcular el área encerrada por la curva y = x², el eje de abscisas y las rectas x = 1 y x

 Por las entradas anteriores, sabemos que toda función continua en un intervalo es integrable en dicho intervalo. Si y = f(x) es una función continua definida en un intervalo [a, b], entonces f(x) es integrable, es decir, existe su integral definida. Resulta evidente la integrabilidad de funciones como sen x, cos x, de cualquier función polinómica, y en general, de cualquier función continua. Ahora veamos con mayor detenimiento el Teorema Fundamental del Cálculo. Teorema fundamental del cálculo Sea una función y = f(x) integrable en el intervalo [a, b], por tanto, tiene sentido y existe: A partir de f(x) se define una nueva función G de la siguiente forma: G:[a, b] →R t→G(t) Observa que se ha llamado t a la variable de la función G para no confundirla con la variable x de la función f. En estas condiciones, si t₀ ∈ [a, b] es un punto en el que la función f es continua, la función G es derivable en t₀ y el va

 Si f es una función definida y acotada en un intervalo A, e integrable y acotada en [a, b]⊂A y [b, c]⊂A, entonces f es integrable en [a, c] y se tiene: Basta ver si para un 𝜀>0 cualquiera existe una partición P₁ tal que: S P₁ -s P₁ < 𝜀/2 y también una partición P₂ de [b, c] tal que: S P₂ - s P₂ < 𝜀/2 entonces la partición P de [a, c] que resulta de considerar los puntos de P₁ y P₂ tenemos: Sₚ = S P₁ + S P₂ sₚ = s P₁ + s P₂ y en consecuencia: Sₚ - sₚ < 𝜀/2 + 𝜀/2 = 𝜀 por lo que existe, cuando |p| tiende a 0: lim Sₚ = lim sₚ = lim S P₁ + lim S P₂ y por ello: Si una función  f(x) está definida y acotada en [a, b] y definimos una integral definida en ese intervalo a base de particiones P=(b = b₀>b₁>b₂>...>bₙ=a), tenemos que si f(x) es integrable en [a, b]: Como consecuencia:

 Propiedades en relación a las funciones integrales La suma de funciones integrables en un intervalo [a, b] es otra función integrable Si f(x) es integrable en [a, b] para cada 𝜀 > 0 podemos encontrar una partición P₁ del intervalo tal que S P₁ (f) -s P₁ (f) < 𝜀/2 Si g(x) es integrable en el mismo intervalo para el mismo 𝜀 podemos encontrar otra partición P tal que: S P₂ (g) - s P₂ (g) < 𝜀/2 Si tenemos una partición P posterior a P₁ y P₂ tenemos para h = f (que sigue siendo acotada) Sₚ - sₚ < 𝜀 ya que en cada sub-intervalo parcial Iᵢ = [a₁, ai+1] de P se verifica que extr. sup [f(x) + g(x)] ≤ extr. sup. f(x) + extr. sup. g(x). Por lo tanto, se deduce que: cuando existen  las dos integrales del segundo miembro. NOTA: Ten bien presente que ésta es una condición suficiente; para que h(x) = f(x) + g(x) sea integrable es suficiente que f y g lo sean, pero no es necesario. Una función puede ser integrab

 Si y = f(x) es una función continua con valores positivos en un intervalo cerrado [a, b] y representamos la gráfica de su función, tenemos un arco de curva que junto con el eje de las x y las rectas x = a, x = b, determinan un recinto en el plano. A dicho recinto se le asigna un área (un número real), que puede dividirse mediante un paso al límite. Si dividimos el intervalo [a, b] en subintervalos parciales [aᵢ, a i+1 ] y consideramos rectángulos con esas bases y alturas los mínimos de la función en dichos intervalos, tenemos sumando las áreas de todos estos rectángulos, una aproximación por defecto al área encerrada por la curva. Si consideramos los rectángulos con las mismas bases y de alturas los valores máximos de f en los subintervalos, tendremos una aproximación por exceso al área encerrada por la curva.  Tomando suficientemente pequeños los subintervalos [aᵢ,a i+1 ] la diferencia entre ambas apro