El teorema fundamental del cálculo

 Por las entradas anteriores, sabemos que toda función continua en un intervalo es integrable en dicho intervalo.

Si y = f(x) es una función continua definida en un intervalo [a, b], entonces f(x) es integrable, es decir, existe su integral definida.

Resulta evidente la integrabilidad de funciones como sen x, cos x, de cualquier función polinómica, y en general, de cualquier función continua.

Ahora veamos con mayor detenimiento el Teorema Fundamental del Cálculo.

Teorema fundamental del cálculo

Sea una función y = f(x) integrable en el intervalo [a, b], por tanto, tiene sentido y existe:

A partir de f(x) se define una nueva función G de la siguiente forma:

G:[a, b] →R

t→G(t)

Observa que se ha llamado t a la variable de la función G para no confundirla con la variable x de la función f.

En estas condiciones, si t₀ ∈ [a, b] es un punto en el que la función f es continua, la función G es derivable en t₀ y el valor de la derivada en t₀ es G'(t₀) = f(t₀). Es decir, la derivada de la función G en un punto coincide con el valor de f en ese mismo punto, o lo que es lo mismo, si la función f es continua, la función G es una primitiva de la función f.

El teorema fundamental del cálculo pone todo a punto para encontrar un método que permita resolver las integrales definidas de un modo sencillo. Basta, para ello, con utilizar una consecuencia que de él se deriva y que se conoce como Regla de Barrow (que se verá en la siguiente entrada).