Propiedades de la integral

 Propiedades en relación a las funciones integrales

La suma de funciones integrables en un intervalo [a, b] es otra función integrable

Si f(x) es integrable en [a, b] para cada 𝜀 > 0 podemos encontrar una partición P₁ del intervalo tal que

S_P₁^(f) -s_P₁^(f) < 𝜀/2

Si g(x) es integrable en el mismo intervalo para el mismo 𝜀 podemos encontrar otra partición P tal que:

S_P₂^(g) - s_P₂^(g) < 𝜀/2

Si tenemos una partición P posterior a P₁ y P₂ tenemos para h = f (que sigue siendo acotada) Sₚ - sₚ < 𝜀 ya que en cada sub-intervalo parcial Iᵢ = [a₁, ai+1] de P se verifica que extr. sup [f(x) + g(x)] ≤ extr. sup. f(x) + extr. sup. g(x). Por lo tanto, se deduce que:

cuando existen  las dos integrales del segundo miembro.

NOTA: Ten bien presente que ésta es una condición suficiente; para que h(x) = f(x) + g(x) sea integrable es suficiente que f y g lo sean, pero no es necesario. Una función puede ser integrable sin serlo f y g.

Ejemplo

Por ejemplo, sea una función f tal que: 

• Si x es racional, f(x) = 1.
• Si x es irracional, f(x) = 0

y sea una función g tal que:

• Si x es racional, g(x) = 0.
• Si x es irracional, g(x) = 1.

ni f ni g son integrables en [a, b] < R y, sin embargo, h = f + g, función constante, igual a 1, para todo x, es integrable en [a, b].

El producto de una función integrable por un escalar es una función integrable

ƛ constante

En particular (ƛ = -1):

Para finalizar, la diferencia de funciones integrables es integrable. Puesto que la función nula es integrable. Se concluye que el conjunto de funciones integrables, según Riemann, tiene estructura de espacio vectorial.

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NOTA: Si una función f es integrable en [a, b] y cumple que f(x)≥0, entonces: