Cálculo de volúmenes de cuerpos de revolución

 Dada una función continua y = f(x), positiva definida en un intervalo [a, b], al hacer girar la gráfica alrededor del eje de abscisas, genera un cuerpo en el espacio llamado de revolución.

Al cortar por un plano perpendicular al eje de abscisas por un punto x, la sección que aparece es un círculo de radio f(x), por lo que su área es:

A(x) = 𝜋[f(x)]²

Según lo estudiado en el apartado anterior, el volumen del cuerpo es:

Volumen de cuerpos de revolución

Ejemplo

Vamos a calcular el volumen de una esfera de radio r.

Resolución
  1. Al hacer girar un cuarto de circunferencia, de centro en el origen de coordenadas y radio r, alrededor del eje de abscisas, se genera una semiesfera. El volumen de la esfera será el doble del volumen de la semiesfera.
  2. La ecuación de la circunferencia es x²+y² = r². Despejando y², tenemos que y² = r²-x², [f(x)]² = y² = r² - x².
  3. El volumen de la esfera es entonces:
Volumen de una esfera
Por lo tanto, calculando la integral y sustituyendo por los valores de los extremos:

2𝜋[r²x - x³/3]₀³ = 2𝜋(r³ - r³/3) = (4/3)𝜋r³




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