Cálculo de volúmenes de sólidos

1.  Sea un sólido cualquiera en el espacio de volumen V, e imaginemos una recta L con un punto de referencia O que corte longitudinalmente al sólido. Se supone, por, último, que el sólido está completamente contenido entre dos puntos de la recta que distan, respectivamente,  a y b unidades de longitud del punto O.
2. Elegido un punto cualquiera x del intervalo [a, b], se hace pasar un plano perpendicular a la recta L por el punto x. Se llamará V(x) al volumen de la parte del sólido comprendido entre a y x; y A(x) al área de la sección que produce el plano en el sólido. En estas condiciones, creo que está claro V(a) = 0 y V(b) = V.
3. Tomado otro punto L, x + h, muy próximo a x, V(x+h) - V(x) es el volumen de un cilindro de base A(x) y altura h, y por consiguiente su volumen es A(x)·h.

Se debe observar, de una manera intuitiva, que la función A(x), es continua, puesto que al tomar h infinitamente pequeño, x + h está muy próximo a x y, por consiguiente,  A(x + h) es prácticamente igual a A(x). Es por esto por lo que el cilindro de bases A(x) y A(x+h) se consideró igual. Es decir:

V(x+h) - V(x) = A(x)·h

Dividiendo entre h:

[V(x+h) - V(x)]/h = A(x)

Tomando límites cuando h tiende a cero, tenemos que el valor del límite de [V(x+h) - V(x)]/h es igual al valor del límite de A(x), pero hay que tener en cuenta que A(x) no depende de h.

En definitiva, V'(x) = A(x), y puesto que V(b)= V y V(a) = 0, V = V(b) - V(a), y por el teorema fundamental del cálculo:

Esta fórmula permite calcular el volumen de cualquier sólido siempre que se pueda determinar, en cada punto, el área de la sección que produce un plano perpendicular que pasa por ese punto. El plano es perpendicular a una recta elegida que atraviese el sólido.

Ejemplo

Vamos a calcular el volumen de un cilindro de radio r y altura h.

Resolución

1. Si el radio de la base es r y la altura h, se elige como recta L la que coincide con el eje del cilindro y como punto de referencia O el centro de las bases.
2. Al cortar el cilindro por un plano perpendicular a la recta L por cualquier punto x, el área de la sección producida es un círculo de radio r. Por tanto, A(x) = 𝜋r².

Por tanto;