Propiedades respecto del intervalo de integración

  1.  Si f es una función definida y acotada en un intervalo A, e integrable y acotada en [a, b]⊂A y [b, c]⊂A, entonces f es integrable en [a, c] y se tiene:

    Intervalo de integración
    Basta ver si para un 𝜀>0 cualquiera existe una partición P₁ tal que:

    SP₁ -sP₁ < 𝜀/2

    y también una partición P₂ de [b, c] tal que:

    SP₂ - sP₂ < 𝜀/2

    entonces la partición P de [a, c] que resulta de considerar los puntos de P₁ y P₂ tenemos:
    • Sₚ = SP₁ + SP₂
    • sₚ = sP₁ + sP₂
    y en consecuencia:

    Sₚ - sₚ < 𝜀/2 + 𝜀/2 = 𝜀

    por lo que existe, cuando |p| tiende a 0:

    lim Sₚ = lim sₚ = lim SP₁ + lim SP₂

    y por ello:

    Ejemplo de partición de intervalo en integrales
    1. Si una función  f(x) está definida y acotada en [a, b] y definimos una integral definida en ese intervalo a base de particiones P=(b = b₀>b₁>b₂>...>bₙ=a), tenemos que si f(x) es integrable en [a, b]:

    Ejemplo de propiedades del intervalo de integración
    Como consecuencia:


    1. Para a = b, tenemos:





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