La integral de Riemann

1.  Si y = f(x) es una función continua con valores positivos en un intervalo cerrado [a, b] y representamos la gráfica de su función, tenemos un arco de curva que junto con el eje de las x y las rectas x = a, x = b, determinan un recinto en el plano. A dicho recinto se le asigna un área (un número real), que puede dividirse mediante un paso al límite.
2. Si dividimos el intervalo [a, b] en subintervalos parciales [aᵢ, a_i+1] y consideramos rectángulos con esas bases y alturas los mínimos de la función en dichos intervalos, tenemos sumando las áreas de todos estos rectángulos, una aproximación por defecto al área encerrada por la curva.
3. Si consideramos los rectángulos con las mismas bases y de alturas los valores máximos de f en los subintervalos, tendremos una aproximación por exceso al área encerrada por la curva. 
4. Tomando suficientemente pequeños los subintervalos [aᵢ,a_i+1] la diferencia entre ambas aproximaciones puede hacerse tan pequeña como queramos.

Estudio de la integral de Riemann

Sea f una función definida y acotada en el intervalo cerrado I = [a, b] ⊂ R, siendo a y b finitos. Para cada partición de P definimos las siguientes sumas:

1. Sumas superiores = Sₚ = 𝛴Mᵢ(a_i+1 - aᵢ) (sumatorio de i = 0 hasta n - 1)
2. Sumas inferiores = Sₘ = 𝛴mᵢ(a_i+1 - aᵢ) (sumatorio desde i = 0 hasta n - 1)

siendo Mᵢ y mᵢ los extremos superior e inferior de f en (aᵢ,a_i+1). Se tiene, en cualquier caso, M(b-a)≥Sₚ≥m(b-a), siendo M y m los extremos superior e inferior de f en [a, b].

Ahora, veamos que pasa al considerar distintas particiones:

Sean P≤Q dos particiones comparables: Q se obtendrá de P subdividiendo en dos o varios algunos de los subintervalos (aᵢ, a_i+1). Sea:

P = (a₀=a<a₁<a₂...<aₙ=b)

y

P'=(a₀<a₁<a₂...<aₚ<a'<ap+1...<aₙ)

La partición que resulta de añadir un elemento más a los elementos de la partición P en la partición P' . Obtenemos la suma superior e inferior.

Puesto que Q se obtiene de P mediante un número finito de pares de este tipo Sₚ≥S_q.

Para las sumas sₚ y s_q tenemos (se trata de los extremos inferiores mᵢ en las sumas) sₚ≤s_q.

El conjunto de valores Sₚ para las distintas particiones 𝓅 está acotado superiormente por M(b - a) e inferiormente por cualquier sₚ. Tiene, pues, un extremo inferior que escribiremos S(f).

El conjunto de los valores Sₚ está acotado; para toda partición P : m(b - a)≤sₚ≤s_q para una partición Q cualquiera. El extremo superior de las sₚ se escribirá s(f). Tenemos:

M(b-a)≥S_p1≥S_p2≥...≥S(f)

m(b-a)≤s_p1≤s_p2≤...≤s(f)

S_pi≥s_pi  ∀i,j

El extremo superior de las sumas inferiores se la llama integral inferior de Darboux y se presenta:

∫f(x)dx (extremo inferior a, extremo superior b)

El extremo inferior de las sumas superiores se llama integral superior de Darboux y se representa:

∫f(x)dx (extremo inferior a, extremo superior b)

Una función f se dirá integrable, según Riemann, en un intervalo cuando s(f) = S(f) = I. Este valor común se representará:

I = ∫f(x)dx (extremo inferior a, extremo superior b)

Una función f será pues integrable en un intervalo [a, b] cuando para todo 𝜀 > 0 se puede encontrar una partición P del intervalo de forma que:

Sₚ-sₚ < 𝜀

Es decir, si el valor del límite de Sₚ es igual al valor del límite de sₚ cuando p tiende a cero, la función es integrable según Riemann y tenemos que el valor del límite de Sₚ es igual al valor del límite de sₚ, que a su vez, es igual al valor de la integral definida de f(x), con extremo inferior a y extremo superior b.