Introducción a las integrales impropias

 La integral de Riemann se ha definido en el intervalo [a, b] y para funciones acotadas. A continuación, vamos a generalizar la integral de Riemann para funciones no acotadas y para intervalos no acotados.

Integral de funciones no acotadas en un intervalo

1. Sea [a, b] un intervalo acotado y consideramos funciones f(x) reales definidas en (a, b) y no acotadas en un intervalo (a, a+𝜀), pero que sean acotadas e integrables en (a+𝜀, b).

La función f(x) se dirá integrable en [a, b] si existe en R el límite:

y escribiremos:

y si existe el límite, diremos que la integral es convergente.

2. Diremos asimismo que la integral es convergente cuando la función f(x) no está acotada en el intervalo (b-𝜖, b) pero si en el (a, b-𝜀), entonces f es integrable en R si cuando 𝜖 tiende a 0⁺:

3. Si la función no está acotada en los dos extremos:

Diremos entonces que f(x) es integrable si existe en R el límite doble, cuando 𝜀₁ y 𝜀₂ tiendan a 0⁺:

NOTA: tanto en caso 2 como en el caso 3, escribiremos:

---

4. Si la función f(x) está definida y acotada en los intervalos [a, c -𝜀₁] y [c+𝜀₂,b], pero con lim f(x) = ∞, cuando x tiende a c, entonces f(x) se dirá integrable en [a, b] cuando existe el límite doble, cuando 𝜀₁, 𝜀₂ tienden a 0⁺:

5. Por último, si f(x) es una función tal que el límite de f(x) cuando x tiende c₁ es igual al valor del límite de f(x) cuando x tiende a c₂, y este valor del límite es igual al siguiente, así hasta llegar a cₙ, con cᵢ [a, b], ∀ᵢ, diremos que f(x) es integrable si existe el límite múltiple: