Integración aproximada (2)

 Método de Simpson

Hasta ahora, en los métodos de aproximación anteriores de la función integral era sustituida por otra función de carácter lineal, pero en este caso la función se la sustituye por arcos de parábola cuadrática y cúbica (funciones de 2º y 3º grado) que coincide con ella en tres puntos (extremos y un punto medio del intervalo).

Estamos sustituyendo la curva por una parábola.

F(x) = a + bx + cx²

Considerando que trasladamos el eje OY al punto medio de la b:

y como:

• F(-h) = a₀ - a₁h + a₂h²
• F(h) = a₀ + a₁h + a₂h²
• F(0) = a₀

Sabiendo por física que la fuerza es directamente proporcional podemos escribir:

A = h/3[F(-h) + 4·F(0) + F(h)]

luego:

Área = h/3[y₀+4y₁+y₂+y₂+4y₃+y₄+...+y_n-2 + 4y_n-1 + yₙ] = h/3[E + 4I + 2P]

• E = La suma de las ordenadas extremos.
• I = La suma de ordenadas de índice impar.
• P = La suma de las ordenadas de índice par.

En el caso de una ecuación y = a + bx + cx² + dx³:

que es igual a:

2ah + 2ch³/3

que coincide exactamente con la anterior, luego en ambos casos:

A = h/3[E + 4I + 2P]

que es la fórmula de Simpson.

Método de Newton-Cotes

Ajustaremos mejor la curva y por tanto mejoraremos aún más la aproximación, si aumentamos el grado del polinomio aproximado. Para ello, sustituiremos la curva y = f(x) por los n + 1 puntos de ordenadas y₀, y₁,...,yₙ por un polinomio de grado n que pase por los mismos puntos.

Si x₀, x₁,..., xₙ son las abscisas correspondientes y llamamos

𝜑ᵢ(x) = (x-x₀)(x-x₁)..,/(x-xᵢ)

el polinomio de grado n será

y el área será:

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Otros métodos serían métodos de los coeficientes indeterminados, integración gráfica... pero los explicados son los más usuales.