Integración aproximada (1)

 Ya hemos visto que dada analíticamente una función podemos calcular la integral definida en el intervalo [a, b]. Pero en la Física y en otras ciencias tenemos que integrar funciones de las que no se conoce su expresión analítica y solamente conocemos una tabla de valores correspondientes de x e y, o una curva representativa obtenida experimentalmente. Para estos casos, existen métodos aproximados numéricos, gráficos y mecánicos para obtener el valor de la integral.

Método de los rectángulos

Ya ha sido visto cuando hemos estudiado la integral de Riemann. El valor de la integral estará estará entre las sumas de las áreas de los rectángulos superiores y la de los inferiores y se aproximará cada vez más a medida que aumentamos la partición.

Método de los trapecios

Suponemos una función cuya integral definida queremos calcular por el método aproximado de los trapecios. Para ello sustituimos la función en la integral definida en el intervalo [a, b] por otra función lineal cuyo valor en los extremos a y b coincida con los de f(x). Es como si calculamos el área limitada por un arco de curva, el eje de abscisas y dos ordenadas en los extremos, sustituyendo dicho arco por una cuerda, con lo que resulta un trapecio.

Supongamos un intervalo a, b, donde f(x) es una función definida en el intervalo y continua en él. Dividimos f(x) en n intervalos iguales de longitud

h = (b-a)/n

Cada intervalo que hemos trazado corresponde a un valor de abscisas x₁, x₂,...,xₘ, ..., xₙ, para cada una de las cuales conocemos el valor de la ordenada.

La primeras fórmula del área sería sumando las áreas de los trapecios

A = h[(1/2)·y₀ + y₁ + ... + yₘ + ...+(1/2)·yₙ]

Fórmula de Poncelet

Para una mejor aproximación bastará con que n sea suficientemente grande o emplear una aproximación que además simplifica el cálculo.

Supongamos f(x) positiva en el intervalo [a, b] que dividimos en un número par de intervalos iguales mediante los cuales calculamos el área de los trapecios inscritos en la curva: 

A = (y₀+y₁)h/2 +...+ (y_n-1 + yₙ)h/2

Simplificando:

A = (y₀+yₙ)h/2- (y₁+y_n-1)/2 +2hPI

donde I es la suma de las ordenadas de índice impar.

Ahora consideramos los trapecios que forman las tangentes a la curva. Su área es

A' = (y₁ + y₃ + ... + y_n-1)2h = 2hI

Si ahora calculamos el valor medio de ambas A y A':

s = (A + A')/2 = h[(y₀ + yₙ - (y₁ + y_n-1))/4 + 2I]

que es la fórmula de Poncelet más aproximada que la de los trapecios, y que se suele expresar:

Área = h[2I + (E - E')/4]

donde:

• E = suma de las ordenadas de los extremos
• E' = suma de las ordenadas contiguas a ellas.
• I = suma de las ordenadas de índice impar.